1、1课时规范练 37 空间图形的基本关系与公理基础巩固组1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.(2018 河北衡水二调,3)已知 l,m 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题中正确的是( )A.若 l ,m ,则 l mB.若 l ,m ,则 l mC.若 l m,m ,则 l D.若 l ,l m,则 m 3.(2018 河南六市一模,6)在空间中, a,b 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是 ( )A.若 a ,b ,则 a bB.若
2、a ,b , ,则 a bC.若 a ,a b,则 b D.若 ,a ,则 a 4.(2018 广东深圳二模,5)已知 m、 n 为两条不同的直线, 、 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若 l m,l n,且 m,n ,则 l B.若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等,则 C.若 m ,m n,则 n D.若 m n,n ,则 m 5.如图所示, ABCD-A1B1C1D1是长方体, O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O 不共面D.B,B1,O,M 共
3、面6.(2018 广东佛山模拟,4)在三棱柱 ABC-A1B1C1中, E,F 分别为棱 AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC 都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条7.(2018 云南保山统考二,10)四棱锥 P-ABCD 中, PA平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA= ,E 为 PC 的中点,则异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为 ( )5A. B. C. D.1310 155 1339 15398.2(2018 河北衡水一模,14)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, CC1底面 ABC,D 是
4、AB 的中点, ACB=90,AC=BC=CC1,过点 D、 C 作截面交 BB1于点 E,若点 E 恰好是 BB1的中点,则直线 AC1与 DE 所成角的余弦值为 . 综合提升组9.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, 平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 3310.(2018 重庆模拟,14)如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP 与 BD 所成的角为 . 11. , 是两个平面, m,n 是两条直线,有下列四个命题: 如果 m
5、 n,m ,n ,那么 . 如果 m ,n ,那么 m n. 如果 ,m ,那么 m . 如果 m n, ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 .其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 创新应用组12.(2018 山西太原三模,10)如图是正四面体的平面展开图, G,H,M,N 分别是 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中: DE 与 MN 平行; BD 与 MN 为异面直线; GH 与 MN 成 60角; DE 与 MN 垂直 .以上四个命题中,正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.413.(2018 陕西黄陵中学 6 月模拟,7)我国古代九章算术
6、里,记载了一个例子:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体 ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中 AB=6 尺, CD=10 尺, EF=8 尺, AB,CD 间的距离为 3 尺, CD,EF 间的距离为 7 尺,则异面直线 DF 与 AB 所成角的正弦值为( )3A. B. C. D.9130130 71301304课时规范练 37 空间图形的基本关系与公理1.A “两条直线为异面直线”“两条直线无公共点” .“两直线无公共点”“两直线异面或平行” .故选 A.2.D 由题意,A 中,若 l ,
7、m ,则 l m 或 l 与 m 异面,所以不正确;B 中,若 l ,m ,则l m 或 l 与 m 相交或异面,所以不正确;C 中,若 l m,m ,则 l 或 l 与平面 斜交或平行,所以不正确;D 中,若 l ,l m,则 m 是正确的,故选 D.3.D 若 a ,b ,则 a,b 位置关系不定;若 a ,b , ,则 a,b 位置关系不定;若a ,a b,则 b 或 b ;若 ,a ,则 a ,选 D.4.D 对于选项 A,若 l m,l n,且 m,n ,则 l 不一定垂直平面 ,因为 m 有可能和 n 平行,所以该选项错误;对于选项 B,若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等,
8、则 , 可能相交或平行,所以该选项错误;对于选项 C,若 m ,m n,则 n 有可能在平面 内,所以该选项错误;对于选项 D,由于两平行线中有一条垂直平面 ,则另一条也垂直平面 ,所以该选项正确 .故答案为 D.5.A 连接 A1C1,AC,则 A1C1 AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面 .所以 A1C平面 ACC1A1.因为 M A1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 .同理 A,O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,所以 A,M,O 三点共线 .6.D 在 EF 上任意取一点 M,直线 A
9、1B1与 M 确定一个平面,这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N,当 M 的位置不同时确定不同的平面,从而与 BC 有不同的交点 N,而直线 MN 与 A1B1,EF,BC 分别有交点 P,M,N,如图,故有无数条直线与直线 A1B1,EF,BC 都相交 .7.C 取 CD 的中点 F,连接 BF, EF,E 是 PC 的中点, EF PD,则 BEF 是 BE 与 PD 的夹角, EF= PD= .12 32PC= ,13 cos BPC= ,32+(13)2-222313 =313BE 2=32+ 2-23 .132 132313=134又 BF= ,5 cos BEF= .2+2-
10、22 =134+94-5213232=133958. 连接 AB1,且 AB1 DE,所以直线 AC1与 DE 所成角为 C1AB1,由 CC1底面 ABC,所以为直三棱63柱,设 AC=BC=CC1=1, ACB=90,所以 B1C1=1,AC1= ,AB1= ,且 B1C1 AC1,cos C1AB1= .填2 311=63.639.A (方法一) 平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1, 平面 ABCD=m,平面 CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,m B1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1, 平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面
11、DCC1D1=CD1,n CD1.B 1D1,CD1所成的角等于 m,n 所成的角,即 B1D1C 等于 m,n 所成的角 . B1D1C 为正三角形, B1D1C=60,m ,n 所成的角的正弦值为 .32(方法二)由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 ,m 即为 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角 .因为 AEF 是正三角形,所以 EAF=60,故 m,n 所成角的正弦值为 .3210. 如图,将原图补成正方体 ABCD-QGHP,连
12、接 GP,则 GP BD,所以 APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角,在 AGP 中, AG=GP=AP,所以 APG= .311. 对于 ,若 m n,m ,n ,则 , 的位置关系无法确定,故错误;对于 ,因为n ,所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c,则 n c.因为 m ,所以 m c,所以 m n,故 正确;对于 ,由两个平面平行的性质可知正确;对于 ,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有 .12.C 将正四面体的平面展开图复原为正四面体 A(B、 C)-DEF,如图:对于 ,M、 N 分别为 EF、 AE 的中点,则 MN AF,而 DE 与
13、 AF 异面,故 DE 与 MN 不平行,故 错误;6对于 ,BD 与 MN 为异面直线,正确(假设 BD 与 MN 共面,则 A、 D、 E、 F 四点共面,与 ADEF 为正四面体矛盾,故假设不成立,故 BD 与 MN 异面);对于 ,依题意, GH AD,MN AF, DAF=60,故 GH 与 MN 成 60角,故 正确;对于 ,连接 GF,A 点在平面 DEF 的射影 A1在 GF 上, DE 平面 AGF,DE AF,而 AF MN,DE 与 MN 垂直,故 正确 .综上所述,正确命题的序号是 ,故答案为 .13.B 如图:根据题意 AB CD,所以 FDC 为异面直线 DF 与 AB 所成角,又因为 CD=10 尺, EF=8 尺且侧面为等腰梯形,过点 F 作 FG DC,则 DG=9 尺, CD,EF 间的距离为 7 尺,故 FG=7 尺,由勾股定理得 DF=尺,所以 sin FDC= ,故选 B.81+49=1307130=7130130
