1、6.2 等差数列及其前n项和,-2-,知识梳理,考点自诊,1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为 (nN+),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 . (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为an=am+(n-m)d.,第2项,差,同一个常数,公差,an+1-an=d,等差中项,a1+(n-1)d,-3-,知识梳理,考点自诊,2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可
2、化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列. (2)数列an是等差数列,且公差不为0Sn=An2+Bn(A,B为常数).,-4-,知识梳理,考点自诊,1.已知an为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和. (1)在等差数列an中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,qN+).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,pN+). (2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等差数列,公差为md(k,mN+). (3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等差数列,公差为n2d. (4)若an
3、,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列.,-5-,知识梳理,考点自诊,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ( ) (2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列. ( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数. ( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是对任意n N+,都有2an+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ( ) (6)等差数列的前n
4、项和公式是常数项为0的二次函数. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.(2018湖南衡阳一模,3)在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48,D,解析:由等差数列的性质可得a1+3a8+a15=5a8=120, 所以a8=24,a2+a14=2a8=48.,3.(2018全国1,理4)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4, a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12,B,解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3
5、a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2018上海,6)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7= .,5.(2018北京,理9)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .,14,an=6n-3,解析:an为等差数列,设公差为d, a2+a5=2a1+5d=36. a1=3,d=6.an=3+(n-1)6=6n-3.,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,等差数列中基本量的求解 例1(1)(2018河南六市联考一,4)在等差数列an中,a1+a3+a5=105, a2
6、+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使Sn达到最大值的n是( ) A.21 B.20 C.19 D.18 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6,B,C,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n
7、,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 (2)(2018衡水中学16模,2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S6=39,则a3+a4=( ) A.31 B.12 C.13 D.52,C,C,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15
8、-,考点1,考点2,考点3,等差数列的判定与证明 例2(2018河南洛阳三模,17)设正项数列an的前n项和Sn满足 2 =an+1.证明数列an是等差数列并求其通项公式.,两式作差,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 又因为an是正项数列,所以an-an-1=2. 数列an是以1为首项,2为公差的等差数列. an=2n-1.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些? 解题心得1.等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN+)an是等差
9、数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成等差数列即可.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,等差数列性质的应用(多考向) 考向1 等差数列项的性质的应用 例3(1)(2018衡水中学一模,3)已知等差数列an的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是( ) A.a5是常数 B.S5是常数 C.a10是常数 D.S10是常数 (2)(2018山东师大附中一模,8)在等差数列
10、an中,若a1+a4+a7=39, a3+a6+a9=27,则S9等于( ) A.66 B.99 C.144 D.297 思考如何利用等差数列的性质快捷地求出结果?,D,B,解析: (1)a4+a5+a6+a7=2(a5+a6)=18,a5+a6=9, S10= =5(a5+a6)=45,为常数,故选D. (2)由题意,得2(a2+a5+a8)=a1+a4+a7+a3+a6+a9=39+27=66, a2+a5+a8=33,S9=66+33=99.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 等差数列前n项和的性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前
11、3m项的和为 .,210,思考本例题应用什么性质求解比较简便? 解题心得在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列Sm, ,也是等差数列.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)(2018湖南张家界三模)在等差数列an中, a3+a5=12-a7,则a1+a9=( ) A.8 B.12 C.16 D.20,(3)(2018安徽六安一中模拟)在等差数列an中,若a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前9项和等于( ) A.-18 B.9 C.18 D.36,A,A,C,-21-,考点1,考
12、点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,等差数列前n项和的最值问题 例5(2018全国2,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7, S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: (1)函数法:将等差数列的前n项和
13、Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.,思考求等差数列前n项和的最值的常用方法有哪些?,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)(2019重庆长寿中学第一次月考)在等差数列an中,满足3a4=7a7,且a10,Sn是an前n项的和,若Sn取得最大值,则n=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 (2)已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( ) A.21 B.20 C.19 D.18,C,B,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点
14、2,考点3,考点4,1.等差数列的判断方法 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 2.注意利用“an-an-1=d”时加上条件“
15、n2”;否则,当n=1时,a0无定义.,-28-,思想方法整体思想在等差数列中的应用 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.,-29-,典例1(2018陕西高三第一次联考)设等差数列an的前n项和 A.27 B.36 C.45 D.54 答案:D 解析:由题意,2(a1+7d)=6+a1+10d,a1+4d=6,即a5=6,-30-,典例2在等差数列an中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n= . 答案:-(m+n) 解析:设an的公差为d,则由Sn=m,Sm=n,
