1、第二章 方程与不等式,第6讲 一元二次方程及其应用,知识梳理,1. 一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 它的一般形式是ax2+bx+c=0(_).,a,b,c为常,a0,2. 一元二次方程的解法: (1)直接开平方法: 如解（x-1）2=4的根为_. (2)配方法：如将x2+2x-5=0(a0)化成(x+1)2=_的形式,然后进行求解. (3)因式分解法：如解x2-2x=0,解得_.(4)公式法：利用求根公式_.,x1=3,x2=-1,6,x1=0,x2=2,x1,2= (b2-4ac0),3. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0
2、)的根的判别式=b2-4ac. (1)当0时，原方程有_的实数根; (2)当=0时，原方程有_的实数根; (3)当0时，原方程_实数根.,两个不相等,两个相等,没有,4. 一元二次方程根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1,x2，那么， x1+x2= ,x1x2= .,易错题汇总,1. 方程x2=x的解是_.,x1=0,x2=1,2. 方程2x(x-2)=x-2的解是_.,x1= ,x2=2,3. 当m=_时，关于x的方程(m+1)xm2-m+3x-5=0是一元二次方程.,2,4. 已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一个根为0，则
3、k的值为_.,1,已知x1,x2是3x2-x-1=0的两个根，则x1+x2=_，x1x2=_.,6. 已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x214x480的根，则这个三角形的周 长为( ) A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19,D,7. 当m为何值时，关于x的方程(m-2)x2-(2m-1)x+m= 0有两个实数根？,解：m ，且m2.,考点突破,1.（2018绍兴）解方程：x2-2x-1=0,解：x1=1+ ，x2=1- ,考点一:一元二次方程的解法,考点二:一元二次方程的判别式与根的情况,2. (2017广东)如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数
4、k的值为( ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -2,B,3.（2018广东）关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A.m Bm Cm Dm,A,4. (2016梅州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1,x2. 求实数k的取值范围.,解：原方程有两个不等实根, =(2k+1)2-4(k2+1)0. 解得k .,考点三:一元二次方程的应用,5.（2018沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元 假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率
5、都相同 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本,解：（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意，得400（1-x）2=361. 解得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去） 答：每个月生产成本的下降率为5% （2）361（1-5%）=342.95（万元） 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.,6.（2018齐齐哈尔）解方程：2（x-3）=3x（x-3）,解:x1=3,x2= ,7.（2018内江）若关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根，则k的取值范围是 ,k-4,8.已知关于x的方程x2-（k+1）x-6=0 求证：无论
6、k取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根.,证明：b2-4ac=-（k+1）2-41（-6）=（k+1）2+ 240， 无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根,9. (2017深圳)一个矩形周长为56 cm. (1)当矩形面积为180 cm2时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200 cm2的矩形吗？请说明理由.,解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28-x) cm，依题意，得x(28-x)=180. 解得x1=10(舍去)，x2=18. 28-x=28-18=10 答：长为18 cm，宽为10 cm. (2)不能.理由如下: 设矩形的长为y cm，则宽为(28-y) cm.
7、 依题意，得y(28-y)=200，即y2-28y+200=0. =282-4200=784-8000，原方程无解， 不能围成一个面积为200 cm2的矩形,10.（2018菏泽）关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+ 1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ( ) A.k0 Bk0 Ck0且k-1 Dk0且k-1,D,11.（2018 盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为( ) A-2 B2 C-4 D4,B,12.（2018 淮安）一元二次方程x2-x=0的根是 ,13. (2017眉山)已知一元二次方程x2-3x-2=0的两实数根为x1，x2，则(x1-1)
8、(x2-1)的值是_.,x1=0，x2=1,-4,14.（2018绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 ,11,15.（2018扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2 015的值为 ,2 018,16.（2018盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件 （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？,26
9、,解：（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元 根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1 200. 整理，得x2-30x+200=0. 解得x1=10，x2=20 要求每件盈利不少于25元， x2=20应舍去. x=10 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为 1 200元,综合提升,17.（2018孝感）已知关于x的一元二次方程（x-3） （x-2）=p（p+1） （1）试证明：无论p取何值,此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2，满足x21+x22-x1x2=3p2+1，求p的值,（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0 =
10、（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1= （2p+1）20， 无论p取何值,此方程总有两个实数根. （2）解:原方程的两根为x1，x2， x1+x2=5，x1x2=6-p2-p 又x12+x22-x1x2=3p2+1， （x1+x2）2-3x1x2=3p2+1. 52-3（6-p2-p）=3p2+1. 25-18+3p2+3p=3p2+1. 3p=-6.p=-2,18. (2017眉山)某烘焙店的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利 润10元. 调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件. 若生产的某档次产品一天的总利 润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？,解：(1)(14-10)2+1=3(档次) 答：此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得2(x-1)+1076-4(x-1)=1 080. 整理，得x2-16x+55=0. 解得x1=5，x2=11(不合题意，舍去) 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品,
