甘肃省武威第一中学2019届高三数学上学期期末考试试题理.doc

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1、1甘肃省武威第一中学 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的1已知集合 ,|,3210 baAbaxBA,则( )A B B C )(A D 5,4)(CBA2若复数21()zxi为纯虚数,则实数 x的值为A 1 B 0 C 1 D 1或3把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数xye的反函数图像重合,则 f(x)=A ln1 B ln1x C ln(1)x D ln(1)x4“ ”是“ 函数 ()cosf在区间 0,上单调递减”的A充分不必要条件 B必要

2、不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5执行如图所示的程序框图,则输出的 a的值为(注:“ 2a”,即为“ 2a”或为“ :2a”)A 2 B13C12D 326412x()的展开式中常数项为A B12C32D327如图,在矩形 OAC内:记抛物线 1yx与直线 1yx围成的区域为 M(图中阴影部分)随机往矩形 内投一点 P,则点 落在区域 内的概率是A18B12C16D138在平面直角坐标系中,定义两点 1(,)Pxy与 2(,)Q之间的“直角距离”为1212(,)dPQxy给出下列命题:(1)若 ,, (sin,co)(R,则 (,)d的最大值为 35;(2)若 是圆2xy上的任

3、意两点,则 PQ的最大值为 2;(3)若 (1,)P,点 Q为直线 2x上的动点,则 (,)d的最小值为1其中为真命题的是A(1)(2)(3) B(1)(2) C(1)(3) D(2)(3)二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分本大题分为必做题和选做题两部分(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答9函数 24xf()的定义域为 10某几何体的三视图如图所示,其正视图是边长为 2 的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几何体的体积是 311已知双曲线2:1xyCab与椭圆2194xy有相同的焦点,且双曲

4、线 C的渐近线方程为 y,则双曲线 的方程为 12设实数 ,xy满足,102,x向量 2,xym()a, 1,()b若 /ab,则实数m的最大值为 13在数列 na中,已知 24, 315,且数列 na是等比数列,则 n (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分14(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy中,以原点 为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 1C的参数方程为2,1t.( t为参数),曲线 2C的极坐标方程为 sincos则曲线 1与曲线 2C的交点个数为_个15(几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB是 O的直径,

5、 TA是 O的切线,过 A作弦 /ACBT,若 4, 23AT,则 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤416(本小题满分 12 分)已知函数 ()sin2)(0)fx的图像经过点(,1)2(1)求 的值;(2)在 ABC中, 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c,若 22abca,且2()1f求 sin17(本小题满分 12 分)某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天 60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图(1):网购金额(单位:千元) 频数 频率(0,.530

6、.51xp(,.9.152025(,.8.33yq合计 601.若网购金额超过 2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过 2千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3:5(1)试确定 x, y, p, q的值,并补全频率分布直方图(如图(2)(2)该营销部门为了进一步了解这 60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定 1人,若需从这 1人中随机选取 3人进行问卷调查设 为选取的 3人中“网购达人”的人数,求 的分布列和数学期望18(本小题满分 14 分)如图所示,平面 ABCD平面 EF,且四边形 ABCD为矩形,四边

7、形 BCEF为直角梯形,/BFE, , 4, 2(1)求证 : /平面 ;(2)求平面 A与平面 BEF所成锐二面角的余弦值;(3)求直线 EF与平面 D所成角的余弦值19(本小题满分 14 分)已知数列 na的前 项和为 nS,且满足24(1)()(N)nnSa(1)求 1, 2的值;6(2)求 na;(3)设1nb,数列 nb的前 项和为 nT,求证:34n20(本小题满分 14 分)如图,直线 :(0)lyx,抛物线2:(0)Cypx,已知点 (2,)P在抛物线C上,且抛物线 上的点到直线 l的距离的最小值为34(1)求直线 l及抛物线 的方程;(2)过点 (,1)Q的任一直线(不经过点

8、 P)与抛物线 C交于 A、 B两点,直线 A与直线 l相交于点 M,记直线 A, B, M的斜率分别为 1k, 2, 3问:是否存在实数 ,使得 123k?若存在,试求出 的值;若不存在,请说明理由21(本小题满分 14 分)已知函数 2901xfa()() (1)求 f在,上的最大值;(2)若直线 2yxa为曲线 yfx()的切线,求实数 a的值;(3)当 a时,设12142, ,且 1214x+ ,若不等式1214fxf+fx()()恒成立,求实数 的最小值7理科数学答案说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的

9、评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分1 2 3 4 5 6 7 8D A D A D C B A二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分三、解答题16(本小题满分 12 分)解:(1)由题意可得()12f,即sin()16 2 分0,76, 2, 3 5 分(2) 22abc

10、a, 1cosC, 7 分23incs 8 分8由(1)知()sin2)3fx,2(+)i()cos2Af A0,, 2sin1, 10 分又 sini()si()BAC,21326iicosin412 分【说明】 本小题主要考查了三角函数 )sin()(xAxf的图象与性质,三角恒等变换,以及余弦定理等基础知识,考查了简单的数学运算能力17解:(1)根据题意,有3951860,2.3xy+解得,6.xy2 分015p, .0q补全频率分布直方图如图所示4 分(2)用分层抽样的方法,从中选取 10人,则9其中“网购达人”有210=45人,“非网购达人”有310=65人6 分故 的可能取值为 0

11、,1,2,3; 46310()CP, 124630()CP,246310(),46310()10 分所以 的分布列为: 23p16101360205E 12 分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力18(本小题满分 14 分)解:(法一)(1)取 CE中点为 G,连接 D、 F,/BFG且 ,四 边 形 为 平 行 四 边 形,则 /BC 且 G2 分四边形 ABCD为矩形, A且 ,/且 ,四 边 形 FG为 平 行 四 边 形,则 /FD 平面 E, A平面 E, /A平面 CD 4 分(2

12、)过点 作 B的平行线交 的延长线于 P,连接 , EP, A,10/EPBCAD, , , , 四点共面四边形 F为直角梯形,四边形 ABCD为矩形, E,又 E,EP平面 C, P,又 平面 AD平面 ,为平面 E与平面 BCF所成锐二面角的平面角7 分4C,2cosD即平面 ADE与平面 BF所成锐二面角的余弦值为 9 分(3)过点 作 HP于 ,连接 EH,根据(2)知 A, P, E, D四点共面, /EPBCAD,BCF, B,又 , C平面 A,11BCFH,则 EP又 A, 平面 AD直线 E与平面 所成角为 HF 11 分4D, 2B,0sin5FHP, 2EP, 6HE,6

13、3co2E即直线 F与平面 AD所成角的余弦值为 2 14 分(法二)(1) 四边形 BCEF为直角梯形,四边形 ABCD为矩形,BCE, ,又 平面 平面 ,且平面 AD平面 ,平面 F以 C为原点, B所在直线为 x轴, CE所在直线为 y轴, CD所在直线为 z轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标: (2,04)A, (,0)B, (,)C, (0,4)D, (,0)E, (2,)F, 则F, 2 2 分CD, E, B为平面 的一个法向量12又 02(4)0AFCB,/平面 DE 4 分(2)设平面 的一个法向量为 11(,)nxyz,则10,.ADnE(,0)A,

14、 (0,4), 14xyz, 取 1z,得 1(,)n 6 分DC平面 BEF,平面 一个法向量为 (0,4)CD,设平面 A与平面 所成锐二面角的大小为 ,则142cosnC因此,平面 ADE与平面 BF所成锐二面角的余弦值为29 分(3)根据(2)知平面 一个法向量为 1(0,)n,(,0)EF, 121cos,E,12 分设直线 与平面 ADE所成角为 ,则 13cosin,2F因此,直线 F与平面 所成角的余弦值为3214 分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力19

15、解:(1)当 =1n时,有2114()+=aa) ( ),解得 1=8当 2n时,有 224()a,解得 272 分13(2)(法一)当 2n时,有2()4(1)nnaS, 11()4(naS得:221()()nnna,即:31()=n5 分122333=()()aa n 8 分另解:333121()42(1)1naann 又 当 =时,有 18, 3=()n8 分(法二)根据 a, 27,猜想: a3 分用数学归纳法证明如下: ()当 1n时,有318(),猜想成立()假设当 k时,猜想也成立,即:3=(1)ka那么当 时,有214()(kkS,即:214()kaSk,又 2()kk, -得

16、:222231 11(3)()(3)()14=kkkkaaka ,解,得33+1()()k当 n时,猜想也成立因此,由数学归纳法证得3=(1)na成立8 分14(3) 211=(1nbann), 10 分1231nnTb2222134()n2 1()()n1 1=()()4341n21n 14 分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化的思想20(本小题满分 14 分)解:(1)(法一) 点 (2,)P在抛物线 C上, 1p 2 分设与直线 l平行且与抛物线 相切的直线 l方程为 yxm,由2,yxm得22()0xm, (

17、)48,由 0,得12,则直线 l方程为12yx两直线 l、 间的距离即为抛物线 C上的点到直线 l的最短距离,有1324b,解得 b或 1(舍去)直线 l的方程为 yx,抛物线 C的方程为2yx6 分(法二) 点 (2,)P在抛物线 上, p,抛物线 C的方程为2yx2 分15设2(,)tMR(为抛物线 C上的任意一点,点 M到直线 l的距离为2tbd,根据图象,有20tb,21()1dtb,tR, d的最小值为2,由342,解得 2因此,直线 l的方程为 yx,抛物线 C的方程为2yx6 分(2) 直线 AB的斜率存在, 设直线 AB的方程为 1()k,即 21ykx,由21,ykx得24

18、0ky,设点 A、 B的坐标分别为 1(,)Ax、 2(,)By,则 12yk, 124k,1121ykxy,2ky, 9 分1212122 2+8()84243kkkyyy10 分由,x得 1Mkx, 1Mk,34123k, 13 分123k因此,存在实数 ,使得 123k成立,且 214 分【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系,切线方程,点到直线距离,最值问题等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想1621(本小题满分 14 分)解:(1)2291()9(1)()axaxfx,2 分令 ()0f,解

19、得 a(负值舍去),由12a,解得14()当0时,由,2x,得 ()0fx,()fx在1,2上的最大值为18()4fa3 分()当 4a时,由,2x,得 ()0fx,()fx在1,2上的最大值为184fa4 分()当4a时, 在 2x时, ()0fx,在2ax时,()0fx,()f在1,2上的最大值为9=2af( )5 分(2)设切点为 (,)tf,则()1,.fta6 分由 ()1ft,有29()at,化简得 242710t, 即 2a或 25t, 由 ()ft,有 291tat,由、解得 a或354 9 分17(3)当 2a时, 29()1xf,由(2)的结论直线 4y为曲线 ()yfx的

20、切线,()f, 点 (,)f在直线 4上,根据图像分析,曲线 yx在直线 yx下方 10 分下面给出证明:当1,2时, ()4f 3229810()41xxxfx 21()x( ),当,2时, ()4fx,即 ()4fx12 分11121() )fxf ,214, 4()(5642fxffx 要使不等式 214()fxf 恒成立,必须 13 分又 当 1214 时,满足条件 214xx ,且 ()()fxffx ,因此, 的最小值为 14 分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题,考查学生的分类讨论,计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识

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