1、1甘肃省武威第一中学 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1已知集合 ,|,3210 baAbaxBA，则（ ）A B B C )(A D 5,4)(CBA2若复数21()zxi为纯虚数，则实数 x的值为A 1 B 0 C 1 D 1或3把函数 f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数xye的反函数图像重合，则 f（x）=A ln1 B ln1x C ln(1)x D ln(1)x4“ ”是“ 函数 ()cosf在区间 0,上单调递减”的A充分不必要条件 B必要
2、不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5执行如图所示的程序框图，则输出的 a的值为（注：“ 2a”，即为“ 2a”或为“ :2a”）A 2 B13C12D 326412x()的展开式中常数项为A B12C32D327如图，在矩形 OAC内：记抛物线 1yx与直线 1yx围成的区域为 M（图中阴影部分）随机往矩形 内投一点 P，则点 落在区域 内的概率是A18B12C16D138在平面直角坐标系中，定义两点 1(,)Pxy与 2(,)Q之间的“直角距离”为1212(,)dPQxy给出下列命题：（1）若 ,， (sin,co)(R，则 (,)d的最大值为 35；（2）若 是圆2xy上的任
3、意两点，则 PQ的最大值为 2；（3）若 (1,)P，点 Q为直线 2x上的动点，则 (,)d的最小值为1其中为真命题的是A（1）（2）（3） B（1）（2） C（1）（3） D（2）（3）二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9函数 24xf()的定义域为 10某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为 2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 311已知双曲线2:1xyCab与椭圆2194xy有相同的焦点，且双曲
4、线 C的渐近线方程为 y，则双曲线 的方程为 12设实数 ,xy满足,102,x向量 2,xym()a， 1,()b若 /ab，则实数m的最大值为 13在数列 na中，已知 24， 315，且数列 na是等比数列，则 n （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 1C的参数方程为2,1t.（ t为参数），曲线 2C的极坐标方程为 sincos则曲线 1与曲线 2C的交点个数为_个15（几何证明选讲选做题）如图 4，已知 AB是 O的直径，
5、 TA是 O的切线，过 A作弦 /ACBT，若 4， 23AT，则 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤416（本小题满分 12 分）已知函数 ()sin2)(0)fx的图像经过点(,1)2（1）求 的值；（2）在 ABC中， 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，若 22abca，且2()1f求 sin17（本小题满分 12 分）某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天 60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1）：网购金额（单位:千元） 频数 频率(0,.530
6、.51xp(,.9.152025(,.8.33yq合计 601.若网购金额超过 2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3:5（1）试确定 x， y， p， q的值，并补全频率分布直方图（如图（2）（2）该营销部门为了进一步了解这 60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定 1人，若需从这 1人中随机选取 3人进行问卷调查设 为选取的 3人中“网购达人”的人数，求 的分布列和数学期望18（本小题满分 14 分）如图所示，平面 ABCD平面 EF，且四边形 ABCD为矩形，四边
7、形 BCEF为直角梯形，/BFE， ， 4， 2（1）求证 ： /平面 ；（2）求平面 A与平面 BEF所成锐二面角的余弦值；（3）求直线 EF与平面 D所成角的余弦值19（本小题满分 14 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且满足24(1)()(N)nnSa（1）求 1， 2的值；6（2）求 na；（3）设1nb，数列 nb的前 项和为 nT，求证：34n20（本小题满分 14 分）如图，直线 :(0)lyx，抛物线2:(0)Cypx，已知点 (2,)P在抛物线C上，且抛物线 上的点到直线 l的距离的最小值为34（1）求直线 l及抛物线 的方程；（2）过点 (,1)Q的任一直线（不经过点
8、 P）与抛物线 C交于 A、 B两点，直线 A与直线 l相交于点 M，记直线 A， B， M的斜率分别为 1k， 2， 3问：是否存在实数 ，使得 123k？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分 14 分）已知函数 2901xfa()() （1）求 f在,上的最大值；（2）若直线 2yxa为曲线 yfx()的切线，求实数 a的值；（3）当 a时，设12142, ，且 1214x+ ，若不等式1214fxf+fx()()恒成立，求实数 的最小值7理科数学答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的
9、评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 40 分1 2 3 4 5 6 7 8D A D A D C B A二、填空题：本大题每小题 5 分，满分 30 分三、解答题16（本小题满分 12 分）解：（1）由题意可得()12f，即sin()16 2 分0，76， 2， 3 5 分（2） 22abc
10、a， 1cosC， 7 分23incs 8 分8由（1）知()sin2)3fx，2(+)i()cos2Af A0,， 2sin1， 10 分又 sini()si()BAC，21326iicosin412 分【说明】 本小题主要考查了三角函数 )sin()(xAxf的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力17解：（1）根据题意，有3951860,2.3xy+解得,6.xy2 分015p， .0q补全频率分布直方图如图所示4 分（2）用分层抽样的方法，从中选取 10人，则9其中“网购达人”有210=45人，“非网购达人”有310=65人6 分故 的可能取值为 0
11、，1，2，3； 46310()CP， 124630()CP，246310()，46310()10 分所以 的分布列为： 23p16101360205E 12 分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（本小题满分 14 分）解：（法一）（1）取 CE中点为 G，连接 D、 F，/BFG且 ，四 边 形 为 平 行 四 边 形，则 /BC 且 G2 分四边形 ABCD为矩形， A且 ，/且 ，四 边 形 FG为 平 行 四 边 形，则 /FD 平面 E， A平面 E， /A平面 CD 4 分（2
12、）过点 作 B的平行线交 的延长线于 P，连接 ， EP， A，10/EPBCAD， ， ， ， 四点共面四边形 F为直角梯形，四边形 ABCD为矩形， E，又 E，EP平面 C， P，又 平面 AD平面 ，为平面 E与平面 BCF所成锐二面角的平面角7 分4C，2cosD即平面 ADE与平面 BF所成锐二面角的余弦值为 9 分（3）过点 作 HP于 ，连接 EH，根据（2）知 A， P， E， D四点共面， /EPBCAD，BCF， B，又 ， C平面 A，11BCFH，则 EP又 A， 平面 AD直线 E与平面 所成角为 HF 11 分4D， 2B，0sin5FHP， 2EP， 6HE，6
13、3co2E即直线 F与平面 AD所成角的余弦值为 2 14 分（法二）（1） 四边形 BCEF为直角梯形，四边形 ABCD为矩形，BCE， ，又 平面 平面 ，且平面 AD平面 ，平面 F以 C为原点， B所在直线为 x轴， CE所在直线为 y轴， CD所在直线为 z轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标： (2,04)A， (,0)B， (,)C， (0,4)D， (,0)E， (2,)F， 则F， 2 2 分CD， E， B为平面 的一个法向量12又 02(4)0AFCB，/平面 DE 4 分（2）设平面 的一个法向量为 11(,)nxyz，则10,.ADnE(,0)A，
14、 (0,4)， 14xyz， 取 1z，得 1(,)n 6 分DC平面 BEF，平面 一个法向量为 (0,4)CD，设平面 A与平面 所成锐二面角的大小为 ，则142cosnC因此，平面 ADE与平面 BF所成锐二面角的余弦值为29 分（3）根据（2）知平面 一个法向量为 1(0,)n，(,0)EF， 121cos,E，12 分设直线 与平面 ADE所成角为 ，则 13cosin,2F因此，直线 F与平面 所成角的余弦值为3214 分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19
15、解：（1）当 =1n时，有2114()+=aa） （ ），解得 1=8当 2n时，有 224()a，解得 272 分13（2）（法一）当 2n时，有2()4(1)nnaS, 11()4(naS得：221()()nnna，即：31()=n5 分122333=()()aa n 8 分另解：333121()42(1)1naann 又 当 =时，有 18， 3=()n8 分（法二）根据 a， 27，猜想： a3 分用数学归纳法证明如下： （）当 1n时，有318()，猜想成立（）假设当 k时，猜想也成立，即：3=(1)ka那么当 时，有214()(kkS，即：214()kaSk，又 2()kk， -得
16、：222231 11(3)()(3)()14=kkkkaaka ，解，得33+1()()k当 n时，猜想也成立因此，由数学归纳法证得3=(1)na成立8 分14（3） 211=(1nbann)， 10 分1231nnTb2222134()n2 1()()n1 1=()()4341n21n 14 分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想20（本小题满分 14 分）解：（1）（法一） 点 (2,)P在抛物线 C上， 1p 2 分设与直线 l平行且与抛物线 相切的直线 l方程为 yxm，由2,yxm得22()0xm， (
17、)48，由 0，得12，则直线 l方程为12yx两直线 l、 间的距离即为抛物线 C上的点到直线 l的最短距离，有1324b，解得 b或 1（舍去）直线 l的方程为 yx，抛物线 C的方程为2yx6 分（法二） 点 (2,)P在抛物线 上， p，抛物线 C的方程为2yx2 分15设2(,)tMR（为抛物线 C上的任意一点，点 M到直线 l的距离为2tbd，根据图象，有20tb，21()1dtb，tR， d的最小值为2，由342，解得 2因此，直线 l的方程为 yx，抛物线 C的方程为2yx6 分（2） 直线 AB的斜率存在， 设直线 AB的方程为 1()k，即 21ykx，由21,ykx得24
18、0ky，设点 A、 B的坐标分别为 1(,)Ax、 2(,)By，则 12yk， 124k，1121ykxy，2ky， 9 分1212122 2+8()84243kkkyyy10 分由,x得 1Mkx， 1Mk，34123k， 13 分123k因此，存在实数 ，使得 123k成立，且 214 分【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想1621（本小题满分 14 分）解：（1）2291()9(1)()axaxfx，2 分令 ()0f，解
19、得 a（负值舍去），由12a，解得14（）当0时，由,2x，得 ()0fx，()fx在1,2上的最大值为18()4fa3 分（）当 4a时，由,2x，得 ()0fx，()fx在1,2上的最大值为184fa4 分（）当4a时， 在 2x时， ()0fx，在2ax时，()0fx，()f在1,2上的最大值为9=2af（ ）5 分（2）设切点为 (,)tf，则()1,.fta6 分由 ()1ft，有29()at，化简得 242710t， 即 2a或 25t， 由 ()ft，有 291tat，由、解得 a或354 9 分17（3）当 2a时， 29()1xf，由（2）的结论直线 4y为曲线 ()yfx的
20、切线，()f， 点 (,)f在直线 4上，根据图像分析，曲线 yx在直线 yx下方 10 分下面给出证明：当1,2时， ()4f 3229810()41xxxfx 21()x（ ），当,2时， ()4fx，即 ()4fx12 分11121() )fxf ，214， 4()(5642fxffx 要使不等式 214()fxf 恒成立，必须 13 分又 当 1214 时，满足条件 214xx ，且 ()()fxffx ，因此， 的最小值为 14 分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识
