1、1第二部分 专题五 类型一1(2018南昌模拟)我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形概念理解(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；性质探究(2)如图 1，在邻对等四边形 ABCD 中， ABC DCB ， AC DB ， ABCD，求证： BAC 与 CDB 互补；拓展应用(3)如图 2，在四边形 ABCD 中， BCD2 B， AC BC5， AB6， CD4.在 BC 的延长线上是否存在一点 E，使得四边形 ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出 DE 的长；如果不存在，说明理由(1)解：矩形或正方形(2)证明：如答图 1，延长 CD 至
2、E，使 CE BA，连接 BE.在 ABC 和 ECB 中，Error! ABC ECB(SAS)， BE CA， BAC E. AC DB， BD BE， BDE E， CDB BDE CDB E BAC CDB180，即 BAC 与 CDB 互补(3)解：存在这样一点 E，使得四边形 ABED 为邻对等四边形，如答图 2，在 BC 的延长线上取一点 E，使得 CE CD4，连接 DE， AE， BD，则四边形 ABED 为邻对等四边形理由如下： CE CD， CDE CED. BCD2 ABC， ABC DEB， ACE BCD.2在 ACE 和 BCD 中，Error! ACE BCD(
3、SAS)， BD AE，四边形 ABED 为邻对等四边形 CBA CAB CDE CED， ABC DEC， ， DE .ABBC 65 DECE DE4 2452(2018淮安)如果三角形的两个内角 与 满足 2 90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形” (1)若 ABC 是“准互余三角形” ， C90， A60，则 B15；(2)如图 1，在 Rt ABC 中， ACB90， AC4， BC5.若 AD 是 BAC 的平分线，不难证明 ABD 是“准互余三角形” 试问在边 BC 上是否存在点 E(异于点 D)，使得 ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，
4、请说明理由(3)如图 2，在四边形 ABCD 中， AB7， CD12， BD CD， ABD2 BCD，且 ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长解：(1) ABC 是“准互余三角形” ， C90， A60，2 B A90，解得 B15.(2)如答图 1，在 Rt ABC 中， B BAC90， BAC2 BAD， B2 BAD90， ABD 是“准互余三角形” ABE 也是“准互余三角形” ，只有 2 B BAE90. B BAE EAC90， CAE B. C C90， CAE CBA， CA2 CECB， CE ， BE5 .165 165 953(3)如答图 2，将 BC
5、D 沿 BC 翻折得到 BCF， CF CD12， BCF BCD， CBF CBD. ABD2 BCD， BCD CBD90， ABD DBC CBF180，点 A， B， F 共线， A ACF90，2 ACB CAB90，只有 2 BAC ACB90， FCB FAC. F F， FCB FAC， CF2 FBFA，设 FB x，则有 x(x7)12 2， x9 或 x16(舍去)， AF7916，在 Rt ACF 中， AC 20.AF2 CF2 162 1223(2015江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” ，例如图 1，图 2，图 3 中， AF， BE 是 AB
6、C 的中线， AF BE，垂足为 P，像 ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形” ，设 BC a， AC b， AB c.特例探索(1)如图 1，当 ABE45， c2 时， a_2 _， b_2 _.2 5 5如图 2，当 ABE30， c4 时， a_2 _， b_2 _.13 7归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想 a2， b2， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的关系式拓展应用(3)如图 4，在 ABCD 中，点 E， F， G 分别是 AD， BC， CD 的中点，BE EG， AD2 ， AB3，求 AF 的长5解：(1) AF BE， AB
7、E45， AP BP AB2.22 AF， BE 是 ABC 的中线，4 EF AB， EF AB ，12 2 PFE PEF45， PE PF1.在 Rt FPB 和 Rt PEA 中， AE BF ，12 22 5 AC BC2 ， a b2 .5 5如答图 1，连接 EF.同理可得 EF 42.12 EF AB， PEF PBA， .PFAP PEPB EFAB 12在 Rt ABP 中， AB4， ABP30， AP2， PB2 ， PF1， PE .3 3在 Rt APE 和 Rt BPF 中， AE ， BF ，7 13 a2 ， b2 .13 7(2)猜想： a2 b25 c2，
8、证明如下：如答图 2，连接 EF.设 ABP ， AP csin ， PB ccos ，由(1)同理可得 PF PA ， PE PB12 csin2 12，ccos2 AE2 AP2 PE2 c2sin2 ，c2cos24BF2 PB2 PF2 c2cos2 ，c2sin24( )2 c2sin2 ，( )2 c2cos2 ，b2 c2cos24 a2 c2sin24 c2cos2 c2sin2 ，a24 b24 c2sin24 c2cos24 a2 b25 c2.(3)如答图 3，连接 AC， EF 交于点 H， AC 与 BE 交于点 Q，设 BE 与 AF 的交点为 P.点 E， G 分
9、别是 AD， CD 的中点， EG AC.5 BE EG， BE AC.四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， AD BC2 ， EAH FCH.5 E， F 分别是 AD， BC 的中点， AE AD， BF BC，12 12 AE BF CF AD .12 5 AE BF，四边形 ABFE 是平行四边形， EF AB3， AP PF.在 AEH 和 CFH 中，Error! AEH CFH， EH FH， EP， AH 分别是 AFE 的中线，由(2)的结论得 AF2 EF25 AE2， AF25( )2 EF216， AF4.5或连接 F 与 AB 的中点 M，证 MF 垂直 B
10、P，构造出“中垂三角形” ，由AB3， BC AD 及(2)中的结论，直接可求 AF.12 54(2017江西)我们定义：如图 1，在 ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 (0 180)得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 B C.当 180时，我们称 AB C是 ABC 的“旋补三角形” ， AB C边 B C上的中线 AD 叫做 ABC 的“旋补中线” ，点 A 叫做“旋补中心” 特例感知(1)在图 2，图 3 中， AB C是 ABC 的“旋补三角形” ， AD 是 ABC 的“旋补中线”如图 2，当 ABC 为等边三角形时， AD 与 BC 的数量关系为
11、 AD BC；12如图 3，当 BAC90， BC8 时，则 AD 长为 4.猜想论证(2)在图 1 中，当 ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明拓展应用(3)如图 4，在四边形 ABCD， C90， D150， BC12， CD2 ， DA6.在四3边形内部是否存在点 P，使 PDC 是 PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由6图 1图 2图 3图 4解：(1) ABC 是等边三角形， AB BC AC AB AC. DB DC， AD B C. BAC60， BAC B AC180， B AC120， B
12、 C30， AD AB BC.12 12 BAC90， BAC B AC180， B AC BAC90. AB AB， AC AC， BAC B AC， BC B C. B D DC， AD B C BC4.12 12(2)结论： AD BC.12证明如下：如答图 1，延长 AD 到 M，使得 AD DM，连接 B M， C M. B D DC， AD DM，四边形 AC MB是平行四边形， AC B M AC.7第 4 题答图 1 BAC B AC180， B AC AB M180， BAC MB A. AB AB， BAC AB M， BC AM， AD BC.12(3)存在理由：如答图
13、2，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BE AD 于 E，作线段 BC的垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA， PD， PC，作 PCD 的中线 PN，第 4 题答图 2连接 DF 交 PC 于 O. ADC150， MDC30.在 Rt DCM 中， CD2 ， DCM90， MDC30，3 CM2， DM4， M60.在 Rt BEM 中， BEM90， BM14， MBE30， EM BM7， DE EM DM3.12 AD6， AE DE. BE AD， PA PD， PB PC.在 Rt CDF 中， CD2 ， CF6，3tan CDF ， CDF60 CPF，3易证 FCP CFD， CD PF. CD PF.四边形 CDPF 是矩形， CDP90， ADP ADC CDP60， ADP 是等边三角形， ADP60.8 BPF CPF60， BPC120， APD BPC180， PDC 是 PAB 的“旋补三角形” 在 Rt PDN 中， PDN90， PD AD6， DN ， PN 3 DN2 PD2 . 3 2 62 39
