1、第二节 一元二次方程及其应用,考点一 一元二次方程的解法 (5年1考) 例1 解方程：(1)(2017兰州中考)2x24x10； (2)(2017丽水中考)(x3)(x1)3.,【分析】 (1)直接利用配方法解方程得出答案； (2)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程 【自主解答】 (1)2x24x10，x22x ， (x1)2 ，则x1 ， 解得x11 ，x21 .,(2)方程化为x24x0， 因式分解得x(x4)0， 解得x10，x24.,解一元二次方程的易错点 (1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般 形式，再确定a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分
2、解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等 号的右边化为0，否则易出现错误；,(3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除 以未知数，否则会漏掉x0的情况； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程 检验，避免增根,1(2018临沂中考)一元二次方程y2y 0配方后可 化为( ) A(y )21 B(y )21 C(y )2 D(y )2,B,2(2018安顺中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方 程x27x100的两根，则该等腰三角形的周长是( ) A12 B9 C13 D12或9 3(2018齐齐哈尔中考)解方程：2(x3)3x(x3) 解：2(x3)3x(x3)，
3、 移项得2(x3)3x(x3)0， 整理得(x3)(23x)0，解得x13或x2 .,A,考点二 一元二次方程根的判别式 (5年4考) 例2 (2017潍坊中考)若关于x的一元二次方程kx22x1 0有实数根，则k的取值范围是 ,【分析】 根据题意可得0，据此可求出k的取值范围， 同时注意二次项系数k0. 【自主解答】 由题意得 44k0，且k0，解得k1且k0.故答案为k1且 k0.,利用判别式解题的误区 (1)一元二次方程的解一般分为“无实根”“有实根”“有 两个相等的实根”“有两个不相等的实根”四种情况，注意 与判别式的对应关系； (2)利用根的情况确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二
4、次项系数不为0这个隐含条件,4(2018菏泽中考)关于x的一元二次方程(k1)x22x 10有两个实数根，则k的取值范围是( ) Ak0 Bk0 Ck0且k1 Dk0且k1 5(2018聊城中考)已知关于x的方程(k1)x22kxk 30有两个相等的实根，则k的值是,D,6(2018北京中考)关于x的一元二次方程ax2bx10. (1)当ba2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b 的值，并求此时方程的根 解：(1)a0，(a2)24aa24a44aa24. 方程有两个不相等的实数根,(2)方程有两个相等的实数根，0. 若b2，a1，则方
5、程变形为x22x10， 解得x1x21.,百变例题 (2018乐山中考)已知关于x的一元二次方程mx2 (15m)x50(m0) (1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线ymx2(15m)x5与x轴交于A(x1，0)，B (x2，0)两点，且|x1x2|6，求m的值； (3)若m0，点P(a，b)与点Q(an，b)在(2)中的抛物线上 (点P，Q不重合)，求代数式4a2n28n的值,【分析】 (1)直接利用b24ac，进而利用偶次方的性 质得出答案； (2)首先解方程，进而由|x1x2|6，求出答案； (3)利用(2)中所求，得出m的值，进而利用二次函数对称轴
6、得出答案,【自主解答】 (1)由题意得 (15m)24m(5)(5m1)20， 无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根 (2)解方程mx2(15m)x50得 x1 ，x25. 由|x1x2|6得| 5|6， 解得m1或m .,(3)由(2)得，当m0时，m1， 此时抛物线为yx24x5，其对称轴为x2， 由题意知P，Q关于x2对称， 2，即2a4n， 4a2n28n(4n)2n28n16.,变式1： 解：当m2时，原方程可化为2x211x50. 设方程的两个根分别为x1，x2， 则x1x2 ，x1x2 ， 该矩形对角线长为 该矩形外接圆的直径是,变式2： 解：当m1时，原方程可化为x26x
7、50， 解得x11，x25. 当1为腰时，1125，不能组成三角形； 当5为腰时，周长为55111， 面积为,变式3： 解：由mx2(15m)x50(m0)得 (mx1)(x5)0， 此方程的两根为x1 ，x25. 若x1x2，则x112，此等腰三角形的三边分别为12，12，5， 周长为29；,若x1x25，等腰三角形的三边分别为5，5，12，不存在此 三角形， 这个等腰三角形的周长为29.,变式4： 解：关于x的方程mx2(15m)x50(m0)有两个相等 的实数根， (15m)24m(5)0，即(5m1)20， m1m2 .,考点三 一元二次方程根与系数的关系 (5年2考) 例3 (201
8、8潍坊中考)已知关于x的一元二次方程mx2(m 2)x 0有两个不相等的实数根x1，x2.若 4m， 则m的值是( ) A2 B1 C2或1 D不存在,【分析】 先由二次项系数非零及根的判别式0，得出关 于m的不等式组，解得m的取值范围，再根据根与系数的关系， 结合 4m，即可求出m的值 【自主解答】 关于x的一元二次方程mx2(m2)x 0 有两个不相等的实数根x1，x2， 解得m1且m0.,x1，x2是方程mx2(m2)x 0的两个实数根， x1x2 ，x1x2 . 4m， 4m，m2或1. m1且m0，m2.故选A.,7(2018高密一模)若x1，x2是方程x22mxm2m10 的两个根
9、，且x1x21x1x2，则m的值为( ) A1或2 B1或2 C2 D1 8(2018烟台中考)已知关于x的一元二次方程x24xm 10的实数根x1，x2，满足3x1x2x1x22，则m的取值 范围是_,D,3m5,考点四 一元二次方程的应用 (5年0考) 例4 “低碳环保，绿色出行”，自行车逐渐成为人们喜爱的 交通工具某品牌共享自行车在某区域的投放量自2018年逐 月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了1600辆，3 月份投放了2500辆若该品牌共享自行车前4个月的投放量的 月平均增长率相同，求4月份投放了多少辆？,【分析】 设月平均增长率为x，根据1月份、3月份共享自行 车的投放量，
10、即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正 值即可得出结论 【自主解答】 设月平均增长率为x， 根据题意得1600(1x)22500， 解得x10.2525%，x22.25(不符合题意，舍去)，,月平均增长率为25%， 4月份投放了2500(1x)2500(125%)3125(辆) 答：4月份投放了3125辆,列一元二次方程(组)解应用题的一般步骤可概括为“审、设、 列、解、答”五步，在得到方程的解之后，要记得检验它是否 符合实际意义,9(2018宜宾中考)某市从2017年开始大力发展“竹文化” 旅游产业据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿 元预计2019“竹文化”旅游收入达到2.8
11、8亿元，据此估计 该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约 为( ) A2% B4.4% C20% D44%,C,10(2018盐城中考)一商店销售某种商品，平均每天可售 出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，该店采 取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段 时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件 (1)若降价3元，则平均每天销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200 元？,解：(1)26 (2)设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200 元 根据题意得 (40x)(202x)1200， 整理得x230x2000， 解得x110，x220.,要求每件盈利不少于25元，x220应舍去， 解得x10. 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元,
