1、第六节 解直角三角形及其应用,考点一 锐角三角函数 (5年0考) 例1 (2018德州中考)如图，在44的正方形方格图形中， 小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，则 BAC的正弦值是 ,【分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，再 由锐角三角函数的定义即可得出结论 【自主解答】由勾股定理可得AB2324225，BC21222 5，AC2224220， AB2BC2AC2，ACB90，ABC为直角三角形， sinBAC .故答案为,求三角函数值的方法 在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角 形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角 函数的定义解决在
2、网格图中求锐角的三角函数值，要充分 利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定 理解答,1如图，已知在RtABC中，C90，AB5，BC3， 则cos B的值是( )2(2018滨州中考)在ABC中，C90，若 tan A ，则sin B ,A,考点二 特殊角的三角函数值 (5年1考) 例2 在ABC中，若|sin A |( cos B)20， A，B都是锐角，则C ,【分析】 根据绝对值及完全平方的非负性，可得出A及B 的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出C的度数 【自主解答】 |sin A |( cos B)20， sin A ，cos B . 又A，B都是锐角，A45，B3
3、0， C1804530105. 故答案为105.,熟记特殊角的三角函数值的两种方法 (1)按值的变化：30，45，60角的正余弦的分母都是 2，正弦的分子分别是1， ， ，余弦的分子分别是 ， ，1，正切分别是 ，1， .,(2)特殊值法 在直角三角形中，设30角所对的直角边为1，那么三边 长分别为1， ，2； 在直角三角形中，设45角所对的直角边为1，那么三边 长分别为1，1， .,3李红同学遇到了这样一道题： tan(20)1，你猜想锐角的度数应是( ) A40 B30 C20 D10 4(2017烟台中考)在RtABC中，C90，AB2，BC ，则sin ,D,考点三 解直角三角形 (5
4、年0考) 例3 (2018自贡中考)如图，在ABC中，BC12，tan A ，B30，求AC和AB的长,【分析】 过点C作CDAB，在直角三角形中求出AD，BD，即 可得解 【自主解答】 如图，过点C作CDAB于点D. 在RtBCD中，B30，BC12， CDBCsin 306，BDBCcos 306 . 在RtACD中，,tan A ，AD8， AC 10， ABADBD86 .,5(2018贵阳中考)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且 每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为( )A. B1 C. D.,B,6(2018齐齐哈尔中考)四边形ABCD中，BD是对角线， ABC90，ta
5、nABD ，AB20，BC10，AD13， 则线段CD ,考点四 解直角三角形的应用 (5年5考) 命题角度 仰角、俯角问题 例4 (2017潍坊中考)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五 层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高2.5 m；上面五层 居住，每层高度相等测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五 楼顶部点D的仰角为60，在B处测得四楼顶部点E的仰角为,30，AB14 m求居民楼的高度(精确到0.1 m，参考数 据： 1.73),【分析】 设每层楼高为x m，由MCCC求出MC的长，进 而表示出DC与EC的长，在RtDCA中，利用锐角三 角函数定义表示出CA，同理表示出CB，由CB CA求出
6、AB 的长，即可解得 【自主解答】设每层楼高为x m. 由题意得MCMCCC2.51.51，,则DC5x1，EC4x1. 在RtDCA中，DAC60， 则CA 在RtECB中，EBC30， 则CB ABCBCAAB，, 解得x3.17， 则居民楼高为53.172.518.4(m),7(2015潍坊中考) 观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度， 如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光 塔顶端C处的仰角是60，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D处的俯角是30.已知楼房高AB约是 45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是_m.,135,8(2018聊城中考)随着我市农产品整
7、体品牌形象“聊 胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩 大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1.线段AB，BD 分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长已知墙高 AB为2米，墙面与保温板所成的角BAC150，在点D处测 得A点，C点的仰角分别为9，15.6，如图2.求保温板AC,的长是多少米？(精确到0.1米) (参考数据： 0.86，sin 90.16，cos 90.99， tan 90.16，sin 15.60.27，cos 15.60.96， tan 15.60.28.),解：设ACx，在ABD中，tan 9 ， BD 如图，作CEBD，垂足为点E，作AGCE，垂足为
8、点G. 在RtAGC中，CAG60， AGACcos 60 x0.5x， CGACsin 60 x， EDBDBEBDAG 0.5x.,在RtCED中，tanCDEtan 15.6 CEEDtan 15.6( 0.5x)tan 15.6. 又CECGGE x2， ( 0.5x)tan 15.6 x2， 即( 0.5x)0.280.86x2，解得x1.5(米) 答：保温板AC的长约是1.5米,命题角度 坡度、坡角问题 例5 (2018安顺中考)如图是某市一座人行天桥的示意图， 天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角CAB45， 在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥， 市政
9、府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角BDC 30，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行,道，问该建筑物是否需要拆除(结果保留一位小数)(参考 数据： 1.414， 1.732),【分析】 在RtABC，RtDBC中，利用锐角三角函数分别 计算AB，DB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系得结论 【自主解答】由题意知，AH10米，BC10米 在RtABC中， CAB45，ABBC10米 在RtDBC中，,CDB30，DB DHAH(DBAB)1010 102010 2.7(米) 答：该建筑物需要拆除,解决坡度、坡角问题时的注意点 首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意
10、义及 坡度与坡角的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形， 充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正确选择关系式,9(2018枣庄中考)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的 倾斜角为31，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 _米(结果保留两个有效数字)(参考数据：sin 310.515，cos 310.857，tan 310.601),6.2,10(2018邵阳中考)某商场为方便消费者购物，准备将原 来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已 知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角ABD为30；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACB为15，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度(结果精
11、确到0.1 m参考数据：sin 150.26，cos 150.97，tan 150.27),解：在RtABD中，ABD30，AB10， ADAB sinABD10sin 305. 在RtACD中，ACD15，sinACD AC 19.2. 答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.,命题角度 方向角问题 例6 (2018潍坊中考)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速 度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航 行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30方向，同 时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向为了 在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以
12、75海里 /小时的速度继续航行 小时即可到达(结果保留根号),【分析】 过点P作PQAB，交AB延长线于点Q，过点M作 MNAB，交AB延长线于点N，通过解RtAQP、RtBPQ求得 PQ的长度，即MN的长度，然后通过解RtBMN求得BM的长度， 则易得所需时间 【自主解答】 如图，过点P作PQAB，交AB延长线于点Q，过 点M作MNAB，交AB延长线于点N.,在RtAQP中，PAQ45， 则AQPQ601.5BQ90BQ， BQPQ90. 在RtBPQ中，BPQ30，BQPQtan 30 PQ， PQ90 PQ，PQ45(3 )， MNPQ45(3 ),在RtBMN中，MBN30，BM2MN
13、90(3 )， 需要继续航行 (小时)故答案是,解决方向角问题的方法 方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还 要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在 同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助 线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程 (组)来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力,11在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度， 如图，河岸EFMN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河 对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处， 测得河对岸电线杆D位于北偏东30方向，此时，其他同学 测得CD10米请根据这些数据求出河的宽度为
14、 米 (结果保留根号),12(2018青岛中考)某区域平面示意图如图，点O在河的 一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路甲勘测员在A处测 得点O位于北偏东45，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西 73.7，测得AC840 m，BC500 m请求出点O到BC的距 离参考数据：sin 73.7 ，cos 73.7 ，tan 73.7 .,解：如图，作OMBC于点M，ONAC于点N， 则四边形ONCM为矩形， ONMC，OMNC. 设OMx，则NCx，AN840x. 在RtANO中，OAN45， ONAN840x，则MCON840x，,在RtBOM中，BM 由题意得840x x500， 解得x480. 答：点O到BC的距离为480 m.,
