1、1专题集训 11 直角三角形探究一、选择题1在 RtABC 中，A90，有一个锐角为 60，BC6.若 P 在直线 AC 上(不与点A，C 重合)，且ABP30，CP 的长不可能的是( C )A2 B4 C8 D63 3【解析】当 C60时， ABC30，如图，与 ABP30矛盾；当 C60，如图， ABP30， CBP60， CP BC6；当 ABC60时， C30，如图， ABP30， C ABP30， PC PB， BC6， AB3， PC PB 2 ；当 ABC60时，3cos30 332 3 C30，如图， ABP30， PBC90， PC BCcos304 .故不能3为 8，选 C
2、.二、填空题2在某海防观测站的正东方向 12 海里处有 A， B 两艘船相遇，然后 A 船以每小时 12海里的速度往南航行， B 船以每小时 3 海里的速度向北漂流则经过_ 2_小时后，观测站及 A， B 两船恰成一个直角三角形3在 ABC 中， AB6， BC2 ， ABC60，以 AB 为一边作等腰直角三角形3ABD，且 ABD90，连结 CD，则线段 CD 的长为_ 2 或 2 _3 21【解析】依题作图，过 C 作 CM AB 于 M， CN BD 于N由于 D 可能有两种情况，反映到图中即求 CD1和 CD2的长，易知四边形 CMBN 为矩形，而 ABC60， AB6， BC2 ，
3、BM NC ， MC BN3， BD2 AB6， N 恰为 BD23 32中点， CNB CND2. CB CD22 ，又 D1N639， CD1 3 D1N2 CN2 2 .92 （ 3） 2 214如图，Rt ABC 中， ACB90， AC BC4 cm， CD1 cm，若动点 E 以 1 cm/s的速度从 A 点出发，沿着 A B A 的方向运动，至 A 点结束，设 E 点的运动时间为 t 秒，连结 DE，当 BDE 是直角三角形时， t 的值为_ 或 或 或 7 _秒522 112 2 2 2【解析】如图，当 DE1CB 时，满足条件ACCB，又ACCB4，CD1，BD3，即得DE1
4、3，BE 13 ，AE 1 ABE 1B4 3 ，t 秒；当 DE2AB 时，2 2 2 2AE11 2满足条件此时，BD ，DE 2E 2B ，AE 2ABE 2B4 ，t 秒；3322 2 322 522 522返回到 E2时，t 4 秒；返回到 E1时，AB BE21 2 322 112 2t 2ABAE 18 7 秒AB BE11 2 2 2三、解答题5如图，在平面直角坐标系中，点 C(0，4)，射线 CEx 轴，直线 y xb 交线12段 OC 于点 B，交 x 轴于点 A，D 是射线 CE 上一点若存在点 D，使得ABD 恰为等腰直角三角形，求 b 的值解：分三种情况讨论： 当 A
5、BD 90时，如图 1， b ； 当 ADB 90时，如433图 2， b ； 当 DAB 90时，如图 3， b 2836 在平面直角坐标系中，抛物线 y x2( k1) x k 与直线 y kx1 交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的左侧(1)如图 1，当 k1 时，求 A， B 两点的坐标；(2)如图 2，抛物线 y x2( k1) x k(k0)与 x 轴交于点 C， D 两点(点 C 在点 D 的左侧)，在直线 y kx1 上是否存在唯一一点 Q，使得 OQC90？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由解：( 1)A( 1， 0)， B(2， 3)(2)设直线 AB：
6、 y kx 1 与 x 轴， y 轴分别交于点 E， F，则 E( ， 0)， F(0， 1)，1kOE ， OF 1.在 Rt EOF 中，由勾股定理得： EF .令 y x2( k 1)1k （ 1k） 2 1 1 k2kx k 0，得： x k 或 x 1.C ( k， 0)， OC k.假设存在唯一一点 Q，使得 OQC 90，如图，则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，此时 OQC 90.设点 N 为 OC 中点，连结 NQ，则NQEF ， NQ CN ON .EN OE ON .NEQ FEO ， EQN EOF 90，k2 1k k2 EQN EOF， ，即： ，解得： k ， k0， k . 存NQOF ENEF k211k k21 k2k 255 255在唯一一点 Q，使得 OQC 90，此时 k . 若直线 AB 过点 C 时，此时直线与圆的交2554点只有另一点 Q 点，故亦存在唯一一点 Q，使得 OQC 90，将 C( k， 0)代入 y kx 1中，可得 k 1， k 1(舍去)，故亦存在唯一一点 Q，使得 OQC 90，此时 k 1.综上所述， k 或 1 时，存在唯一一点 Q，使得 OQC 90255
