1、专题11 直角三角形探究,1在RtABC中，A90，有一个锐角为60，BC6. 若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且ABP30，求CP的长 【解析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答,解：如图1，当C60时，ABC30，与ABP30矛盾； 如图2，当C60时，ABC30，ABP30， CBP60，PBC是等边三角形，CPBC6；,2如图，在RtABC中，A90，ABAC，BC1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上若MBC为直角三角形，求BM的长解：在RtABC中，A90，ABAC，可得BC45， 由折叠
2、可知，BMMB，若使MBC为直角三角形，分两种情况：,3如图1，等边ABC的边长为4 cm，边AB在射线OM上，且OA6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连结DE. (1)求证：CDE是等边三角形； (2)如图2，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由,【解析】当DEB为直角三角形时，哪个内角是直角？有几种情况？,解：(1)将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE， DCE60，DCEC，CDE是等边三角形(2)存在，当点
3、D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， 当点D与点B重合时，不符合题意,当0t6 s时，由旋转可知，ABE60，BDE60， BED90，由(1)可知，CDE是等边三角形，DEB60， CEB30，CEBCDA，CDA30， CAB60，ACDADC30，DACA4， ODOADA642，t212 s；,当6t10 s时，由DBE12090，此时不存在； 当t10 s时，由旋转的性质可知，DBE60， 又由(1)知CDE60，BDECDEBDC60BDC， 而BDC0，BDE60，只能BDE90， 从而BCD30，BDBC4，OD14 cm， t14114 s，所以，当t2 s或14 s时
4、， 以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形,4以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴， 已知A(4，0)，B(0，2)，M(0，4)，点P为菱形边上一点 (1)求BC边所在直线的解析式； (2)当OPM为直角三角形时，求点P的坐标,【解析】点在菱形边上有几种情况？当OPM为直角三角形时，哪个角是直角顶点？,(2)设点P的纵坐标为a.当点P在边AB或BC上时，POM90， 当点P在点C或点A时，OPM为直角三角形；当点P在边CD上时， 即：0a2时，P(42a，a)，M(0，4)，OP2(42a)2a25a216a16，PM2(42a)2(a4)25a224a32，OM21
5、6，POM是直角三角形，当POM90时，OP2OM2PM2，5a216a16165a224a32，a0，P(4，0)，当MPO90时，OP2PM25a216a165a224a3210a240a48OM216，,5(2018预测)如图，抛物线L：yax2bxc与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x1. (1)求抛物线L的解析式； (2)设点P是抛物线L上任意一点，点Q在直线l：x3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由,【解析】当P点在x轴上方和下方时，注意等腰直角三角形的图形特点，利
6、用全等得出线段的等量关系，利用勾股定理转化为方程,(2)设P(m，m22m3)，Q(3，n)，当P点在x轴上方时， 过P点作PM垂直于直线l，交直线l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：B(3，0)，PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，BPQ90，BPPQ，则PMQBNP90，MPQNBP，,在PQM和BPN中，PMQBNP，MPQNBP，PQBP，PQMBPN(AAS)，PMBN，PMBNm22m3， 根据B点坐标可得PN3m，且PMPN6， m22m33m6，解得m1或m0，P(1，4)或P(0，3)；,6在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2过点A(2，0)，
7、B(2，2)，与y轴交于点C. (1)求抛物线yax2bx2的函数解析式； (2)在抛物线yax2bx2的对称轴上是否存在点P，使ACP是直角三角形？若存在求点P的坐标，若不存在，请说明理由 【解析】ACP是直角三角形有几种情况？哪个角是直角？,7在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)，A(5，0)，B(m，2)，C(m5，2)是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使OPA90？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由 【解析】由题意得到BC5，且与x轴平行，使OPA90，即求点P在OA为直径的圆周上,8如图，AB是O的直径，弦BC2 cm，ABC60. (1)
8、求O的直径； (2)若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与O相切； (3)若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1 cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t，连结EF，当t为何值时，BEF为直角三角形,解：(1)O的直径为4 cm (2)当BD长为2 cm时，CD与O相切,(3)根据题意得BE42t，BFt.如图，当EFBC时，BEFBAC，BEBABFBC，即(42t)4t2，解得t1；如图，当EFBA时，BEFBCA，BEBCBFBA，即(42t)2t4，解得t1.6，当t1 s或t1.6 s时，BEF为直角三角形,10(20
9、18预测)如图，对称轴为直线x1的抛物线yx2bxc与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A点的坐标为(3，0) (1)求抛物线的解析式； (2)若将此抛物线向右平移m个单位，A，B，C三点在坐标轴上的位置也相应的发生移动，在移动过程中，BOC能否成为等腰直角三角形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由,解：(1)yx22x3 (2)向右平移后B(m1，0)，C(m，m22m3)， m22m3(m1)，解得m2，m1(舍去)； m22m3m1，解得m4，m1(舍去) 综上可知，m的值为2或4,11如图，在ABC中，AB5，BC3，AC4，动点E(与点A，C不重合)在AC边上，EFAB交BC于点F.试问在AB上是否存在点P，使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长,
