1、12.2 等差数列1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母 d 表示2等差中项由三个数 a， A， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时， A 叫做 a 与 b 的_3等差数列的通项公式以 1a为首项， d 为公差的等差数列 na的通项公式为 na_4等差数列与一次函数由等差数列的通项公式 n_，可得 1()nd当 0d时，等号右边是关于自变量 n 的一次整式，一次项系数是等差数列的_，且当 0d时数列 a为递增数列，当 0d时数列 na为递减数列；当 0d时， 1na，等差数
2、列为常数列，此时数列的图象是平行于 x 轴的直线（或 x轴）上均匀分布的一群孤立的点从图象上看（如下图），表示数列 na的各点，即点 (,)na，均匀分布在一条直线上K 知识参考答案：12 同一个 公差 2等差中项 3 1()and 4 1()and 公差2K重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用K难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题K易错 对等差数列的定义理解不深刻、忽略等差数列问题中的隐含条件判断一个数列是否为等差数列判断一个数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法： 1()nad*N或 1(2,)nadn*Nna是等差数列；（2）定义变形法：验证是否满足 1
3、n ；（3）等差中项法： 122()nn*为等差数列；（4）通项公式法：通项公式形如 ,apq为常数 )na为等差数列（1）已知数列 n的通项公式为 3n，证明：数列 为等差数列；（2）已知数列 na的通项公式为2,1a，判断该数列是否为等差数列；（3）若数列 满足 112()()nn，证明： na为等差数列；（4）若1,abc成等差数列，证明：,bcab成等差数列【答案】见解析【解析】（1）因为 3n，所以 13()3nan，所以 ()na，所以 为等差数列（2）当 时， 1=2na，即数列从第 3 项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，但 2132=0a， ，即 2132a，所以该数列不
4、是等差数列（3）由 1()nn，将 n 替换为 1得 11()nnaa，3两式相减并整理得 11()=2()()(2)nnnaa，由 2n可得 1n，由等差数列的定义可知， n为等差数列（4）因为,abc成等差数列，所以21=bac，即 2()bac又222()()a，所以,bcab成等差数列【名师点睛】（1）通项公式法不能作为证明方法；（2）若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；（3）要否定某数列是等差数列，说明其中连续三项不成等差数列即可求等差数列的通项公式求等差数列的通项公式的两种思路：（1）设出基本量 1a， d，利用条件构建方程组，求出 1a， d，即可写出等差数列 n
5、a的通项公式；（2）已知等差数列中的两项 ,(,)nman*N时，则1()nmda()mnnadd，可不必求 1而直接写出等差数列 n的通项公式 （1）在等差数列 na中，若 1+ 69a， 47，则 na_；（2）在等差数列 n中，若 3832， 3812，则na_；（3）已知单调递减的等差数列 na的前三项之和为 12，前三项之积为 48，则n_4【答案】（1） 513n；（2） n或 16；（3） 82n【解析】（1）因为 na是等差数列，所以由 1a+ 69， 47可得125937ad， 解得85ad，所以 (1)53nn（2）方法 1：设 na的首项为 1，公差为 d，则由 3832
6、4，可得 78，即 17a，由 1a整理可得 5)32（ （ ，解得 1d，当 d时， ， na；当 d时， 15， 6n方法 2：同方法 1 可得 8，所以 3888()()32aa，解得 1d，当 时， ()n；当 时， nn方法 3：同方法 1 可得 8，所以 316， 319，所以 31,a是方程 2690x的两根，易得 13=a或31由 31=， 得13ad，所以 n；由 313a， 得13，所以 16na（3）方法 1：根据题意可设等差数列 的前三项为 1,2da，根据已知条件建立方程组求解即可，此处不再赘述方法 2：由于数列 na为等差数列，因此可设前三项分别为 ,，由已知条件可
7、得()()1248d，即231()48ad，解得42ad或42ad，5因为数列 na单调递减，所以42ad，从而 (2)8nadn【名师点睛】对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于 n 的一次函数的形式，不必保留 1()d的形式等差数列性质的应用由等差数列的定义可得公差为 d的等差数列 na具有如下性质：（1）若 ,pqa，则 0pqa（2）若 mn，则 qpnm(,)*N特别地，若 2，则 2pamn；若 tr，则 tpqra(,)mnpq,r*N有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 1211.nniniaaa （3）下标成等差数列的项 2,kmk 组
8、成以 md 为公差的等差数列（4）数列 (,ntt是常数 )是公差为 td 的等差数列（5）若数列 b为等差数列，则数列 ntab(,t是常数 )仍为等差数列（6）等差数列中依次 k 项之和仍组成等差数列，即数列 1212,kkaa 212,kka3,a 是以 2kd为公差的等差数列（1）在等差数列 n中，若 471039a，则35_；（2）在等差数列 na中，若 3456785，则 19a_；（3）已知 为等差数列，若 100,2a，则 60_6【答案】（1） 13；（2） 4；（3） 2【解析】（1）方法 1：设等差数列 na的公差为 d，则 4701()(6)aad11(9)38=9a，
9、即 16=3ad，所以 351224方法 2：由等差数列的性质可得 7107a，即 7，所以 353a7()3a（2）由题易知 5465()8，即 51a，所以 195（3）方法 1：设出首项 1a及公差 d，则由题意列方程组即可求解，此处不再赘述方法 2：因为 n为等差数列，所以 10234056,aa也成等差数列，设其公差为 d， 10为第一项，则 4为第四项，所以 403a，即 26 7d，解得 ，所以 62【名师点睛】一般地，运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用，但解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提利用一次函数的性质解等差数列问题
10、等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解等差数列 na中， 619,a则过点 218(,)(,)MaN的直线斜率为_【答案】 1【解析】由数列 na是等差数列，可知 na是关于 n 的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点 (,)，因此过点 ,N的直线斜率即过点7(6,19),的直线的斜率，所以直线 MN 的斜率196k【名师点睛】由例 4 易知，我们可以利用一次函数的性质证明：若 ,pqa，则0pqa证明过程如下：易知点 (,)n在同一条直线上，不妨设 pq，设 (,),ABqp，则直线 AB 的
11、斜率1pqk如下图所示，易知 OC，即点 C 的坐标为 (,0)pq，故 0pqa由递推关系构造等差数列求通项公式由题设中的递推关系式构造等差数列的常见形式如下：（1）转化为 21()(nnaa)常数，则 1na是等差数列；（2）转化为 1nnc常数，则nc（ c 可以为 0）是等差数列；（3）转化为 a常数，则 a是等差数列；（4）转化为21n常数，则2n是等差数列已知数列 a满足： 1，112na，则数列 na的通项公式na_【答案】 2n8【解析】由 12nna，两边同时除以 12n，得12na，即12na，由等差数列的定义可知数列na是以1=为首项，1 为公差的等差数列，所以 2na，
12、故 2n【名师点睛】当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含 na的关系式，进而求出 na已知数列 满足条件 1， 11(2)n，则10a_【答案】【解析】由条件得 1na(2)，所以数列1na是以 1为首项，1 为公差的等差数列，所以 n，所以 10，则 10已知 na满足： 12，1na，求证1na是等差数列并求 na【答案】见解析【解析】由1 121nnnaa，可得 11nna，由等差数列的定义可得数列na是等差数列，且()2n，故1=na对等差数列的定义理解不深刻导致出错若数列 na的通项公式为 1lg3nna，求证：数列 na是等差数列9
13、【错解】因为 1lg3lnna，所以 1lg3a，2l， ，所以 1， 32l，则 2132，故数列 na是等差数列【错因分析】由数列的通项公式求出的 2132a仅能确保数列 na的前三项成等差数列，不能保证数列 na是等差数列【正解】因为 1lg3ln，所以 1()lg3n，所以 1()(g3)lna*N，所以数列 na是等差数列【名师点睛】数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列忽略等差数列问题中的隐含条件导致出错若等差数列 na的首项 1
14、9，从第 9 项起各项都比 1 大，则这个等差数列的公差 d的取值范围是A19B863dC863dD19【错解 1】由题意可得 91a，即81d，解得 ，故选 A【错解 2】由题意可得981a，即71d，解得8963d，故选 C【错因分析】应深刻理解“从第 9 项起各项都比 1 大”的含义，它不仅表明 91a，而且10还隐含了 81a这一条件，所以上述两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件【正解】由题意可得981a，即817d，解得8963d，故选 D【名师点睛】解题时，应认真阅读题干，正确理解题目所给条件的准确含义，这是正确解题的前提1在等差数列 na中， 45， 917a，则 14A11
15、 B22C29 D122已知132a，132b，则 ,ab的等差中项为A B 2C 3 D3已知等差数列 123,na ,的公差为 d，则 123,ncaca,（ 为常数且 0c）是A公差为 d的等差数列 B公差为 d的等差数列C非等差数列 D以上都不对4在等差数列 na中，已知 13， 254a， 3na，则A48 B49C50 D515已知某等差数列的相邻四项分别为 a+1， a+3， b， a+b，那么 a， b 的值依次为A2，7 B1，611C0，5 D无法确定6已知 na是等差数列，且 1475a， 25839a，则 369aA24 B27C30 D337已知某等差数列共有 10
16、项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为A5 B4C3 D28在等差数列 na中，若 74， 192a，则数列 na的通项公式为A12nB 1nC naD无法确定9在等差数列 n中，已知 mnaA， mn， ,N，且 mn，则ma_10在等差数列 n中， 37，则 2468a_11在数列 na中， 1，1()nna*N，则 72是这个数列的第_项12已知等差数列的第 10 项为 23，第 25 项为22，则此数列的通项公式为na_13已知数列 na的通项公式为 215lg3nna，试判断该数列是否为等差数列1214已知数列 na中，113,2(,)5nna*N，数列 nb满足(
17、)nb*N（1）求证：数列 nb是等差数列；（2）求数列 a中的最大项和最小项15若等差数列 na满足递推关系 1na，则 5aA92B94C14D1316等差数列 na中，已知 16， 0na，公差 *dN，则 ()n的最大值为A5 B6C7 D817已知数列 na是等差数列，若 1917a，则 315aA B 413C 21 D )1(7n18在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的数的个数为A34 B35C36 D3719已知等差数列 na的首项 251，第 10 项是第一个比 1 大的项，则公差 d的取值范围是A875dB325dC32D8720 九章算术是中国古代的数学专
18、著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需几日相逢.A9 B8C16 D1221在等差数列 na中，若 3457,6a，则 na的通项公式为_22在等差数列 n中， pq， （ pq） ，则 pq的值为_23已知数列 a是等差数列，若 4710a，4561231且 3k，则 _24已知数列 01,a ，其中 102,a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；210,a是公差为 d的等差数列； 302, 是公差为 2d的等差数列（d） （1）若 402，求公差 ；（2）试写
19、出 3a关于 d的关系式，并求 30a的取值范围1425已知数列 na的各项为正数，其前 n项和 nS满足21()na，设10()nbN（1）求证：数列 n是等差数列，并求 na的通项公式；（2）设数列 b的前 项和为 nT，求 的最大值；（3）设数列 nc的通项公式为ncat，问：是否存在正整数 t，使得 12,mc(,)mN成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由26 （2016 浙江）如图，点列 An， Bn分别在某锐角的两边上，且 12nnA，2,nA*N， 122,n*N(PQ表示点 P 与 Q 不重合 )若 ,nndS为 1n 的面积，则15A nS是等差数
20、列 B2nS是等差数列C d是等差数列 D d是等差数列27 （2018 北京理）设 na是等差数列，且 13a， 256，则 na的通项公式为_28 （2017 江苏）对于给定的正整数 k，若数列 n满足：111nknnkkaaa 2a对任意正整数 ()nk总成立，则称数列 n是“ ()Pk数列” （1）证明：等差数列 na是“ (3)数列” ；（2）若数列 n既是“ 2数列” ，又是“ (3)P数列” ，证明： na是等差数列161 【答案】C【解析】设等差数列 na的公差为 d，因为 9451752a，所以 14951729,ad故选 C2 【答案】A【解析】因为 32，132b， ，所
21、以 ,ab的等差中项 2abA故选 A3 【答案】B【解析】因为 1ncacd，所以 123,nacca,是公差为 cd的等差数列，故选 B4 【答案】C【解析】设等差数列 na的公差为 d因为 13a， 254a，所以23d，则123()，解得 50，故选 C7 【答案】C【解析】设等差数列的公差为 d设 1357915aa，2468103aa，17两式相减得 51d，所以 3d，故选 C8 【答案】A【解析】设等差数列 na的公差为 ，则 1()nad，因为7194,2a所以1164,82(),d解得 1,d，所以 na的通项公式为12na故选 A9 【答案】 2AB【解析】因为 mna与
22、 的等差中项是 ma，所以 2B10 【答案】74【解析】由等差数列的性质可知 284637a，所以2468374aa12 【答案】 35n【解析】因为 102a， 52，所以 25 104,3,()35ndan13 【答案】数列 n是等差数列【解析】因为2112321235lgllg()lg35nnnnna ，且 lg3为常数，由等差数列的定义，可知数列 a是等差数列1814 【答案】 （1）证明见解析；（2）最小项为 3a且 1，最大项为 4a且 3【思路分析】 （1）因为 12nna， ()nb*N，即可得到 +1nb；（2）由（1）知7nb，则27nn，设2()7fx，利用函数的单调性
23、，即可得到结论【解析】 （1）因为 12(,)nna*N，1()nba*N，所以+1 1,nnnnnnba又152a，所以数列 nb是以52为首项，1 为公差的等差数列（2）由（1）知7nb，则 7nna设2()fx，则 ()fx在区间(,)2和(,)上为减函数所以当 3n时， na取得最小值为1，当 4n时， na取得最大值为 3故数列 中的最小项为 3且 1，最大项为 且 415 【答案】B【解析】令 4n，得 54a；令 5n，得 65a，两式相加，得 546529，所以 594，故选 B16 【答案】C【解析】由 1()nad，得6+(1)=0+1ndn，因为 *dN，所以当 时， n
24、 取最大值 7故选 C17 【答案】B19【解析】 1917a， 97a， 315924a故选 B19 【答案】D【解析】根据题意得1091258ad，解这个不等式组可得83752d，故选D20 【答案】A【解析】由题意可知，良马每日行程 na构成数列 n， 103,ad，驽马每日行程 nb构成数列 n， 197,2bd，假设第 天相逢，由题意知1301524，解得 9n，故选 A21 【答案】 5na【解析】设等差数列 n的公差为 d，由题意有 11254,06add，解得12,5ad，所以 n的通项公式为235na22 【答案】 0【解析】因为公差 d,1qpaqp所以 01qapq23
25、【答案】 1820【解析】由条件可得 79 9123,7,()3kaadad，所以213(9),8k25 【答案】 （1）证明见解析；（2） 25；（3）见解析【解析】 （1）当 n时，211)(aS， 1当 2时，221()()nnna，即 110nn，221nnaa，22()(a， 1， 1n，则 n是等差数列， 2n（2） 02b， 19b， 1n， n是等差数列，2()10nnT，当 5时，2max55（3）由（1）知1nct要使 2,m成等差数列，必须 21mc，21即3122mtt，整理得431t，因为 m， t 为正整数，所以 t 只能取 2，3，5当 时， 7；当 3t时， 5
26、；当 时， 4故存在正整数 t，使得 12,mc成等差数列26 【答案】A【解析】 nS表示点 nA到对面直线的距离（设为 nh）乘以 1nB长度的一半，即12nhB，由题目中条件可知 1B的长度为定值，那么需要知道 nh的关系式由于 1,nA和两个垂足构成了直角梯形，那么 1sinnhA，其中 为两条线的夹角，即为定值，则 1(si)2nShAB，把 n 换成 n+1 可得111(si)2nnnShB，作差后： 1(i)nS，为定值，所以 nS是等差数列故选 A27 【答案】 63na【解析】因为 1， 2536a，所以 346d，解得 d，所以()n28 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【思路分析】 （1）利用等差数列性质得 nknaa2，即得nnnaa322+36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得14， nnn12na36，再将条件集中消元： n321()a， a2314()，即22得 nnaa12，最后验证起始项也满足即可（2）数列 na既是“ (2)P数列” ，又是“ (3)P数列” ，因此，当 3时， nnnaa124，当 4时， 236由知， nna3141()n，a2，将代入，得 nn12，其中 4，所以 345,a 是等差数列，设其公差为 d在中，取 ，则 23564aa，所以 23ad，在中，取 n，则 143，所以 1，所以数列 是等差数列
