1、12.4 等比数列1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(0)q定义也可叙述为：在数列 na中，若1(nq为常数且 0)，则 na是等比数列2等比中项如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a， ， b成等比数列，那么_叫做与 的等比中项3等比数列的通项公式设等比数列 na的首项为 1，公比为 q，则这个等比数列的通项公式是1_(,0)nq4等比数列与指数函数（1）等比数列的图象等比数列 na的通项公式1naq还可以改写为1nnaq，当 且 10a时，xyq是指数函数，1xy
2、是指数型函数，因此数列 n的图象是函数1xa的图象上一些孤立的点例如，教材第 50 页【探究】（2），12na的图象如下图所示 2（2）等比数列的单调性已知等比数列 na的首项为 1，公比为 q，则当10q或1q时， na是_数列；当10a或1时， n是_数列；当 q时， n为常数列 (0)a；当 时， 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号K 知识参考答案：1同一常数 2 G31naq4递增 递减K重点 等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用K难点 灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题K易错 对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件等比数列
3、的判定与证明判断数列 na是否为等比数列的方法：（1）定义法：判断1n是否为常数；3（2）等比中项法：判断1(,2)nan*N是否成立；（3）通项公式法：若数列 n的通项公式形如 (0)natq，则数列 na是等比数列（1）若 na的通项公式为21n，试判断数列 n是否为等比数列（2）若 ,bcd成等比数列， ,bcd均不为零，求证： ,abcd成等比数列【答案】（1） na是等比数列，证明见解析；（2） ,c成等比数列，证明见解析【解析】（1）2(1)214nna，4 为非零常数，由定义可知 na是等比数列（2）由 ,bcd成等比数列，可设(0)bcdqa，因为 ,a均不为零，所以 c，所以
4、 bcd成等比数列【名师点睛】不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其连续三项不成等比数列即可等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列 na中，若 47,32,a则 n_；（2）在等比数列 n中，已知 256若 1024，则n_【答案】（1） 2n；（2） 10【解析】（1）方法 1：因为4732a，所以31642aq，4两式相除得38q，即 2，于是41312aq，所以11nna方法 2：因为3742q，所以38q，即 2，所以 4nna（2）方法 1：因为42512536367aaq，两式相除得 2q，所以 1a，由 04na，可得110n
5、n，解得 10n方法 2：因为 3625()a，所以 2，由436a可得 1，由 1n，可得11nnq，解得 【名师点睛】（1）已知数列 n为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量a与 q，即可写出数列 a的通项公式；（2）当已知等比数列 n中的某项，求出公比 q后，可绕过求 1a而直接写出其通项公式，即 (,)nm*N等比数列的性质的应用若数列 na是公比为 q的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若 mp，则 mnpqa；若 2nr，则2(,)nrr*N推广： 1211;nini 若 mtpqr，则mntpqra（2）若 ,成等差数列，则 ,mnpa成等比数列
6、（3）数列 (0)n仍是公比为 q的等比数列；5数列1na是公比为 q的等比数列；数列 |是公比为 |的等比数列；若数列 nb是公比为 的等比数列，则数列 nab是公比为 q的等比数列（4） 23,kmkmaa 成等比数列，公比为mq（5）连续相邻 项的和（或积）构成公比为 (k或2)的等比数列已知等比数列 na满足 0,n（1）若 1237894,a则 456_；（2）若25()n，则当 1时，313321logllogna_【答案】（1）6；（2） 【解析】（1）方法 1：因为31231278978()4,()aa39,a由等比数列的性质可得 856a，所以132456456.方法 2：由
7、等比数列的性质知 12345789,成等比数列，所以 13789a456()，所以 6a（2）方法 1：由2na，得422113nnqq ，又 0,n所以1nq，故 33211321logllogl()nnaa 231loga (1)123()nn方法 2：由等比数列的性质，得25,na由于 0,n所以n，所以2313321lllog(1). 【名师点睛】在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于 1aq,的方程组，但这样解起来很麻烦，若能避开求 1aq,，直接利用等比数列的性质求解，则比较简捷，同时在应用等比数列的性质时，需注意等比数列性质成立的前提条件6由递推公式构
8、造等比数列求数列的通项公式（1）形如 1(1,0)nnapqp的递推关系式利用待定系数法可化为 1na()1nqqap，当10qap时，数列1nqap是等比数列；由 nn， 1(2)napq， 两式相减，得 11()nnapa， 当210a时，数列 是公比为 p的等比数列（2）形如 +(,0)nncdc的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以 1nd，进而化归为等比数列（1）在数列 na中， 11,36,na则数列 na的通项公式为na_；（2）在数列 n中，111,6,nn则数列 n的通项公式为n_【答案】（1） 143n；（2）13()n【解析】（1）方法 1：
9、令 ,nak即 132,nak与 6na比较得 ，又 134，故数列 3n是以 4 为首项，3 为公比的等比数列，所以1n，所以1.na方法 2：因为 16,na所以 16(2),n所以 113()(2nn，所以 是等比数列，首项 11368,aa公比 3q，7所以1183,nna即1683nnna，即143.nna（2）方法 1：令 1(),nkk即 16,k与 6n比较可得 ，又134ak，所以 3na是以 4 为首项，6 为公比的等比数列，所以1nn，即113(2).nnn方法 2：由1163na，两边同时除以 1n得1,3na由待定系数法易得 12(),nna故数列3na是以143为首
10、项，2 为公比的等比数列，所以14nn，即1().na【名师点睛】当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列利用等比数列的通项公式，求出包含 na的关系式，进而求得 na忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列 na的前三项分别为 ,2,3a，则 a_【错解】因为 2为 与 3的等比中项，所以2()(3)，解得1a或 4【错因分析】若 1a，则 ,2,3a这三项为 1,0，不符合等比数列的定义【正解】因为 2为 与 3的等比中项，所以2()(3)a，解得1a或 4由于 时， 0,a，所以 1应舍去，故 4【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要
11、注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去8忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列 na中， 24685a，则 19a_【错解】因为 n为等比数列，所以 19246，由 24685a可得219()，故 【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件【正解】因为 n为等比数列，所以 192846aa，由 24685a可得219()5a，故 5又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以 190，所以 195a【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题
12、目中的隐含条件1已知 ,5abc五个数成等比数列，则 b的值为A 3 B 5C 5 D 22在等比数列 na中， 12，q，13na，则项数 n为A3 B4C5 D63已知等比数列 na为递增数列，若 10a，且 21()3nna，则数列 na的公比 qA2 或1B 29C12D 24已知数列 nb是等比数列， 9b是 1 和 3 的等差中项，则 16bA16 B8C2 D45已知等比数列 na中， 3462,1a，则10268a的值为A2 B4C8 D166在等比数列 na中，若 48,a是方程 2430x的两根，则 6a的值是A 3 B 3C 或 D 7已知三个数成等比数列，它们的积为 2
13、7，它们的平方和为 91，则这三个数的和为A13 B7C7 或 13 D无法求解8已知 0abc，且 ,a是成等比数列的整数， n 为大于 1 的整数，则下列关于logn， l， logcn的说法正确的是A成等差数列 B成等比数列C各项的倒数成等差数列 D以上都不对9已知数列 na满足 13na，且 2469a，则15793log()_10在等比数列 n中， 2，公比 1q若 35,7成等差数列，则 6a的值是_11在等比数列 na中， 572， 103a，则124a_12已知单调递减的等比数列 n满足 8，且 3是 2a， 4的等差中项，10则公比 q_，通项公式为 na_ 13已知等比数列
14、 na中， 276， 36128，求等比数列 na的通项公式 na14已知数列 na满足递推式 )2(1nan，其中 415a（1）求 321,；（2）求证：数列 n为等比数列1115已知数列 na与等比数列 nb满足 3()na*N（1）试判断 是何种数列；（2）若 813m，求 120L16已知 na是等比数列，且 263a， 6102a，则 812aA 12 B 4C 4 D17已知等差数列 na和等比数列 nb的首项都是 1，公差和公比都是 2，则432bbaA24 B25C26 D2718若等比数列 na的各项均为正数，且310912ea（e 为自然对数的底数） ，则12l20l12
15、A 50 B 40C 3 D 219各项均为正的等比数列 na中， 4与 1的等比中项为 ，则 2721logla的值为A4 B3C2 D120已知等差数列 na和等比数列 nb的首项都是 1，公差和公比都是 2，则234abA24 B25C26 D8421在等比数列 na中， 27，公比 1q若 35,47a成等差数列，则21na_22已知数列 n满足 13(2)n，且 1，则 n=_23已知 ,4b成等差数列， ,4mnt成等比数列，则ban_24等差数列 n的各项均为正数， 13a，前 n项和为 nS， b为等比数列， 1b，且 264,bS390（1）求 na与 ；（2）求和： 121
16、nSS1325已知数列 na的前 项和为 nS，在数列 nb中， 1a， 1(2)nnba，且naS（1）设 1nc，求证： nc是等比数列；（2）求数列 b的通项公式26 （2018 北京文） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12若第一个单音的频率 f， 则第八个单音频率为A3fB32fC125D1727 （2016 四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发
17、资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）A2018 年 B2019 年C2020 年 D2021 年28 （2017 北京理）若等差数列 na和等比数列 nb满足 1a， 48ab，则2ab=_1429 （2017 新课标全国理）设等比数列 na满足 a1+a2=1,a1a3=3，则a4=_30 （2018 新课标全国文）已知数列 n满足 1， 1()nn，设nab（1）求 1b， 2， 3；（2）判断数列 n是否为等比数列，并说明理
18、由；（3）求 a的通项公式31 （2016 新课标全国文）已知各项都为正数的数列 na满足 1，21()nnaa120（1）求 3,；（2）求 n的通项公式151 【答案】B【解析】设等比数列的公比为 q由题意得， 215b，又20bq，所以 5b，故选 B2 【答案】C【解析】根据等比数列通项公式1nnaq有1()32n，解得 5，故选 C5 【答案】B【解析】由题意得24651a，所以 54a，因为 32a，所以 54，所以253q，所以910257681q，故选 B6 【答案】B【解析】由 48,a是方程 2430x的两根有 48480,3aa，故 48,a都为正数，而26，所以 6a，
19、由于26q，所以 6，故选 B 7 【答案】C【解析】由题意，可设这三个数分别为aq， a， aq，则162222739911aqaq 23a或219q，所以 3q或13q，故这三个数为 1，3，9 或1，3，9 或 9，3，1 或9，3，1故这三个数的和为 13 或7故选 C9 【答案】5【解析】因为 13na，所以数列 na是以 3 为公比的等比数列，35579246()9q， 1579log()5a10 【答案】 4【解析】由题意得3422315118787807aqqq或21q（舍去） ，从而46.911 【答案】 或【解析】由等比数列性质知 57210=a，又 2103a，所以 21
20、a， 0或2a， 10，所以124或 1712 【答案】126()n【解析】由题意得， 324333)(2)8aaa，所以248100aq或 （舍去） ，所以通项公式为361()nnq13 【答案】 2na或8n【解析】设等比数列的首项为 1a，公比为 q，由题意得27272736,6,488aa或276,.所以5572q或1，即 q或12，所以12na或 28na故等比数列 n的通项公式为1n或 2na14 【答案】 （1） ， 23a， 7；（2）见解析【解析】 （1）由 1n及 45知 4315,解得 ,73a同理可得 .,2（2）由 1n可得 21nna， )(1nna，n是以 为首项
21、，2 为公比的等比数列18（2）因为 120813aam，所以 1220aL120a=10m，所以201201 3mbLL 16 【答案】B【解析】由题意知44610262 123aqa，则2q，所以2812610610()q，故选 B17 【答案】B【解析】等比数列 nb首项是 ，公比是 ，所以 234,8bb，等差数列na的首项是 1，公差是 2，所以234248135bbaad，故选 B18 【答案】C【解析】在等比数列中， qpnmaqpn，所以33109120110eeaaa，由对数的运算可知lnl21201901l()l()() 103()ne，故选 C19 【答案】B【解析】由
22、4a与 1的等比中项为 2，得 418a，19所以 27212712412logllogllog83aaa，故选 B20 【答案】D【解析】等差数列 n首项是 ，公差是 ，所以 234,5,7a，等比数列nb首项是 1，公比是 2，所以 234263578aabb，故选 D21 【答案】 17n【解析】由题意得3422315118787807aqqq或21q（舍去） ，从而221 1nnn22 【答案】 3n【解析】 11(),2naa， 13(),3nna，即数列1n是以 3 为首项、3 为公比的等比数列，则n，即n23 【答案】 2【解析】因为 1,4ab成等差数列，设公差为 d，所以4(
23、1)bad，因为 ,mnt成等比数列，所以2(1)4n，即 2，由于 与 1,4同号，所以 0，所以 2n，所以12ban24 【答案】 （1） na，18nb；（2）34(1)【解析】 （1）设 的公差为 d， n的公比为 q，则 0d， 3(1)n，1，20依题意有232(9)60,4Sbdq解得2,8dq或6,5403(舍去)，故 (1)nan，1nb（2） 35()(2)S ，所以 1211345(2)n n ( )2311)2n3.42()25 【答案】 （1）见解析；（2）1nb【解析】 （1）因为 naS ，所以 1naS ，得 1n，所以 2，所以 12()nna，所以1na，
24、所以 是等比数列因为首项 1ca， 1，所以 12a，所以 12c，所以 n是以 2为首项， 为公比的等比数列（2）由（1）可知1()()2nnnc，所以1()2nnac故当 n时，111()()()()2nnnnnnba21又 12ba代入上式也符合，所以1()2nb26 【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为 12，所以12*(,)nnaN，又 1f，则127781(aqff，故选 D【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1*(0,)naqnN或 1*(0,2)naqnN， 数列na是等
25、比数列；（2）等比中项公式法，若数列 na中， 0n且*2123,()nna，则数列 n是等比数列 28 【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 d和 q，则318dq，求得 2,3qd，那么213ab29 【答案】 8【解析】设等比数列 na的公比为 q，很明显 1，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：2212123()3aq ，由可得： 2q，代入可得 1a，由等比数列的通项公式可得 418a30 【答案】 （1） b， 2， 34b；（2）数列 nb是等比数列，理由见解析；（3） 2na【解析】 （1）由条件可得 1()nnaa，将 n代入得 214，而 ，所以 24将 代入得 3a，所以 3a从而 1b， 2， b31 【答案】 （1） 41,23a；（2） 1na【解析】 （1）由题意得,32（2）由 0)(112nnaa，得 )1()(21nnaa因为 n的各项都为正数，所以 n，故 na是首项为 1，公比为 2的等比数列，因此 12na
