1、1第十三讲 圆锥曲线的综合问题1.(2018 吉林长春监测)已知 O 为坐标原点,设 F1,F2分别是双曲线 x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 为双曲线左支上任一点,过点 F1作F 1PF2的平分线的垂线,垂足为 H,则|OH|=( )A.1 B.2 C.4 D.122.(2018 湖北武汉调研)过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方),l3为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,若|NF|=4,则 M 到直线 NF 的距离为( )A. B.2 C.3 D.25 3 3 23.(2018 湖南益阳、湘潭调研)已知圆 C1:x
2、2+(y-2)2=4,抛物线 C2:y2=2px(p0),C1与 C2相交于 A,B 两点,|AB|= ,则抛物线 C2的方程为 . 8554.(2018 河南质量预测)已知双曲线 C: - =1 的右焦点为 F,过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足x2a2y2b2为 M,交另一条渐近线于 N,若 2 = ,则双曲线的渐近线方程为 . MFFN5.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=8.(1)求直线 l 的方程;(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D,抛物线的准线与 x 轴的交点为 E,求证:B,D,E 三点共线.
3、6.(2018 广西南宁模拟)已知抛物线 C:y2=ax(a0)上一点 P 到焦点 F 的距离为 2t.(t,12)(1)求抛物线 C 的方程;(2)抛物线 C 上一点 A 的纵坐标为 1,过点 Q(3,-1)的直线与抛物线 C 交于 M,N 两个不同的点(均与点 A不重合),设直线 AM,AN 的斜率分别为 k1,k2,求证:k 1k2为定值.27.(2018 辽宁质量检测)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,且有x2a2y2b2 (1,22)|PF1|+|PF2|=2 .2(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过 F2的直线 l 与椭圆 C 交
4、于 A,B 两点,求AOB(O 为坐标原点)面积的最大值.8.(2018 河北石家庄质量检测)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1x2a2y2b2 223的直线交椭圆 C 于 A,B 两点.(1)若以 AF1为直径的动圆内切于圆 x2+y2=9,求椭圆长轴的长;(2)当 b=1 时,在 x 轴上是否存在定点 T,使 为定值?若存在,求出定值;若不存在,请说明理由.TATB3答案精解精析1.A 如图所示,延长 F1H 交 PF2于点 Q,由 PH 为F 1PF2的平分线及 PHF 1Q,可知|PF 1|=|PQ|,根据双曲线的定义,得|PF 2|
5、-|PF1|=2,从而|QF 2|=2,在F 1QF2中,易知 OH 为中位线,故|OH|=1.故选 A.2.B 解法一:直线 MF 的斜率为 ,MNl,3NMF=60,又|MF|=|MN|,且|NF|=4,NMF 是边长为 4 的等边三角形,M 到直线 NF 的距离为 2 .故选 B.3解法二:由题意可设直线 MF 的方程为 x= y+ ,与抛物线方程联立消去 x,可得 y2- py-p2=0,解得 y=-33 p2 233p 或 y= p,又点 M 在 x 轴上方,M ,MNl,N ,|NF|=33 3 (3p2, 3p) (-p2, 3p)=2p.由题意知 2p=4,解得 p=2,N(-
6、1,2 ),F(1,0),直线 NF 的方程为(p2+p2)2+(0- 3p)2 3x+y- =0,且点 M 的坐标为(3,2 ),利用点到直线的距离公式可得 M 到直线 NF 的距离为3 3 3=2 .故选 B.|33+23- 3|3+1 3解法三:由题意可设直线 MF 的方程为 x= y+ ,与抛物线方程联立消去 x,可得 y2- py-p2=0,解得 y=-33 p2 233p 或 y= p,又点 M 在 x 轴上方,M ,MNl,33 3 (3p2, 3p)4N ,|NF|= =2p.由题意知 2p=4,解得 p=2,N(-1,2 ),F(1,0),(-p2, 3p) (p2+p2)2
7、+(0- 3p)2 3M(3,2 ),设 M 到直线 NF 的距离为 d,在MNF 中,S MNF = |NF|d= |MN|yM,d= 42 =2 ,故312 12 14 3 3选 B.3.答案 y 2= x325解析 解法一:由题意,知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点,不妨记为 B,设另一个交点为 A(m,n).易知点 A 在第一象限,则 m0,n0.|AB|= ,855 m2+n2=855,m2+(n-2)2=4, m=85,n=165,即 A .将 A 的坐标代入抛物线方程得 =2p ,p= ,抛物线 C2的方程为 y2= x.(85,165) (165)2 85 165 3
8、25解法二:由题意,知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点,不妨记为 B,设另一个交点为 A(m,n).易知点 A 在第一象限,则 m0,n0.由圆 C1的性质知 cosC 1BA= = ,sinC 1BA= ,|AB|2|BC1|255 55n=|AB|cosC 1BA= ,m=|AB|sinC 1BA= ,即 A ,将 A 的坐标代入抛物线方程得 =2p ,p= ,165 85 (85,165) (165)2 85 165抛物线 C2的方程为 y2= x.3254.答案 y= x33解析 由题意得双曲线的渐近线方程为 y= x,F(c,0),则|MF|=b,由 2 = ,可得 = ,
9、所以|FN|=2b.ba MFFN |MF|FN|12在 RtOMF 中,由勾股定理,得|OM|= =a,|OF|2-|MF|2因为MOF=FON,所以由角平分线定理可得 = = ,所以|ON|=2a,|OM|ON|MF|FN|12在 RtOMN 中,由|OM| 2+|MN|2=|ON|2,可得 a2+(3b)2=(2a)2,即 9b2=3a2,则 = ,所以 = ,所以双曲线 C 的b2a213 ba 33渐近线方程为 y= x.335.解析 (1)F 的坐标为(1,0),则 l 的方程为 y=k(x-1),代入抛物线方程 y2=4x,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知 k0
10、,且-(2k 2+4)2-4k2k2=16(k2+1)0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),x 1+x2= ,x1x2=1,2k2+4k2由抛物线的定义知|AB|=x 1+x2+2=8, =6,k 2=1,即 k=1,直线 l 的方程为 y=(x-1).2k2+4k25(2)证明:由对称性知,D 点的坐标为(x 1,-y1),又 E(-1,0),k EB-kED= - = ,y2x2+1 -y1x1+1y2(x1+1)+y1(x2+1)(x1+1)(x2+1)而 y2(x1+1)+y1(x2+1)=y2 +y1 = (y1+y2)+(y1+y2)=(y1+y2) ,(y214+1) (y
11、224+1)y1y24 (y1y24 +1)由(1)知 x1x2=1,(y 1y2)2=16x1x2=16,又 y1与 y2异号,y 1y2=-4,即 =-1, +1=0,y1y24 y1y24k EB=kED,又 ED 与 EB 有公共点 E,B,D,E 三点共线.6.解析 (1)由抛物线的定义可知|PF|=t+ =2t,则 a=4t,a4由点 P 在抛物线上,得 at= ,(t,12) 14a = ,得 a2=1,a414由 a0,得 a=1,抛物线 C 的方程为 y2=x.(2)证明:点 A 在抛物线 C 上,且 yA=1,x A=1,A(1,1).设过点 Q(3,-1)的直线的方程为
12、x-3=m(y+1),即 x=my+m+3,代入 y2=x 得 y2-my-m-3=0,=(-m) 2-4(-m-3)=(m+2)2+80.设 M(x1,y1),N(x2,y2),x1,x2均不为 1,则 y1+y2=m,y1y2=-m-3,k 1k2= =y1-1x1-1 y2-1x2-1=- .y1y2-(y1+y2)+1m2y1y2+m(m+2)(y1+y2)+(m+2)2 12k 1k2为定值.7.解析 (1)由|PF 1|+|PF2|=2 ,得 2a=2 ,a= .2 2 2将 代入 + =1,得 b2=1.(1,22) x22y2b2椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.x22(2)
13、由已知知,直线 l 的斜率为零时,不合题意,设直线 l 的方程为 x-1=my,A(x1,y1),B(x2,y2),6联立,得 消去 x,化简整理得(m 2+2)y2+2my-1=0,x=my+1,x2+2y2=2,由根与系数的关系,得y1+y2= -2mm2+2,y1y2= -1m2+2, SAOB = |OF2|y1-y2|12=12 (y1+y2)2-4y1y2=12 (-2mm2+2)2-4(-1m2+2)= 2m2+1m4+4m2+4= 2m2+1(m2+1)2+2(m2+1)+1= = ,21m2+1+ 1m2+1+2 2 12(m2+1)1m2+1+2 22当且仅当 m2+1=
14、,即 m=0 时,等号成立,AOB 面积的最大值为 .1m2+1 228.解析 (1)设 AF1的中点为 M,连接 AF2,MO,在AF 1F2中,由中位线定理得,|OM|= |AF2|= (2a-|AF1|)=a- |AF1|.12 12 12当两个圆内切时,|OM|=3- |AF1|,12所以 a=3,故椭圆长轴的长为 6.(2)存在.由 b=1 及离心率为 ,223得 c=2 ,a=3,2所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.x29当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(x+2 ).2设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,得 x2+9y2=9,y=k(x+2
15、 2),消去 y,并整理得(9k 2+1)x2+36 k2x+72k2-9=0.2=36k 2+360,x1+x2=- ,x1x2= ,362k29k2+1 72k2-99k2+1假设存在定点 T,设 T(x0,0),7则 =x1x2-(x1+x2)x0+ +y1y2TATB x20= ,(9x20+362x0+71)k2+x20-99k2+1当 9 +36 x0+71=9( -9),即 x0=- 时, 为定值,定值为 -9=- .x20 2 x201929 TATB x20 781当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A ,B ,(-2 2,13) (-2 2,-13)当 T 时, = =- .(-1929,0) TATB(29,13) (29,-13) 781综上,在 x 轴上存在定点 T ,使得 为定值- .(-1929,0) TATB 781
