1、2.1 向量的概念及表示,第2章 平面向量,学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 向量的概念,思考1,在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？,答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.,思考2,两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？,答案
2、数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.,答案,向量与数量 (1)向量：既有 ，又有 的量称为向量. (2)数量：只有 ，没有 的量称为数量.,梳理,大小,方向,大小,方向,思考1,知识点二 向量的表示方法,向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？,答案 可以用一条有向线段表示.,思考2,0的模是多少？0有方向吗？,答案 0的模为0，方向任意.,答案,思考3,单位向量的模是多少？,答案 单位向量的模为1个单位长度.,答案,(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.,梳理,长度,长度等于1个单位,方向,起点
3、,方向,长度为0,0,思考1,知识点三 向量间的关系,已知A，B为平面上不同两点，那么向量 相等吗？它们共线吗？,答案 因为向量 方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.,答案,思考2,向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？,答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.,思考3,若ab，bc，那么一定有ac吗？,答案 不一定.因为当b0时，a，c可以是任意向量.,答案,(1)相等向量： 且 的向量叫做相等向量. (2)
4、平行向量：方向 的 向量叫做平行向量. 记法：向量a平行于b，记作 . 规定：零向量与 平行. (3)共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.,梳理,平行,长度相等,方向相同,相同或相反,非零,ab,任一向量,1.向量就是有向线段.( ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段. 2.若a，b都是单位向量，则ab.( ) 提示 a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b方向可能不同. 3.若ab，且a与b的起点相同，则终点也相
5、同.( ) 提示 若ab，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同.,思考辨析 判断正误,答案,提示,题型探究,类型一 向量的概念,例1 下列说法中，正确的是 . 向量 的长度相等； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同； 零向量没有方向； 两个相等向量的起点相同，则终点也相同.,答案,解析,解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同； 零向量的方向不确定，并不是没有方向； 故都错误，正确.,反思与感悟,解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.,跟踪训练1 下列说法正确的有 .(填序号) 若|a|b|，
6、则ab或ab； 向量 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上； 向量 是平行向量.,答案,解析,解析 错误.|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系.,错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上.,正确.向量 是长度相等，方向相反的两个向量.,类型二 共线向量与相等向量,例2 如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与 共线的向量；,解 因为E，F分别是AC，AB的中点，,又因为D是BC的中点，,解答,解答,反思与感悟,(1)非零向量共线是指向量的
7、方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.,跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与 的模相等的向量有多少个？,解 与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)， 而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个.,解答,(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？,解 存在.由正六边形的性质可知，BCAOEF，,(3)与 共线的向量有哪些？,解 由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，,解答,类型三 向量的表示及应用,例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北
8、50的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.,解答,在四边形ABCD中，ABCD，ABCD， 四边形ABCD为平行四边形，,解答,反思与感悟,准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.,跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使ba；,解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).,(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c| ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？,解 由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心
9、，半径为 的圆(作图略).,解答,达标检测,1.下列结论正确的个数是 . 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； 向量的模是一个正实数； 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； 若|a|b|，则ab.,1,解析 温度没有方向，所以不是向量，故错； 向量的模也可以为0，故错； 向量不可以比较大小，故错； 若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对.,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,2.有下列说法： 若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同； 若ab，则a一定不与b共线； 由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行. 其中，正确说法的个数
10、是 .,答案,解析,1,1,2,3,4,解析 对于，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故正确； 对于，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故错误； 对于，因为零向量与任一向量平行，故错误.,3.把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积为 .,1,2,3,4,3,解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为22123.,答案,解析,1,2,3,4,4. 如图所示，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.,解答,1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.,规律与方法,
