1、2.3.1 平面向量基本定理,第2章 2.3 向量的坐标表示,学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面向量基本定理,思考1,如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？,答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.,答案,思考2,如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？,答案
2、 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.,梳理,(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数1，2，使a1e12e2. (2)基底： 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.,所有,不共线,任一,有且只有一对,不共线,知识点二 向量的正交分解,答案,思考,一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？,答案 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底.,梳理,正交分解的含义 一个平面向量用一组基底e1，e2
3、表示成a 的形式，我们称它为向量a的 .当e1，e2所在直线互相 时，这种分解也称为向量a的 .,正交分解,1e12e2,分解,垂直,1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.( ) 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底. 2.零向量可以作为基向量.( ) 提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量. 3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( ) 提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.,思考辨析 判断正误,答案,提示,题型探究,类型一 对基底概念的理解,例1 如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_.(填序号) e1e2(
4、，R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)； 若存在实数，使得e1e20，则0.,答案,解析 由平面向量基本定理可知，是正确的； 对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的； 对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个.,反思与感悟,考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.,跟踪训
5、练1 e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是_. e1e2，e13e2；3e12e2，4e26e1；e12e2，e22e1；e2，e1e2；,答案,解析,解析 由题意，知e1，e2不共线，易知中，4e26e12(3e12e2)， 即3e12e2与4e26e1共线，不能作基底.,类型二 用基底表示向量,解答,解 四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，,解答,引申探究,解 取CF的中点G，连结EG. E，G分别为BC，CF的中点，,反思与感悟,将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向
6、量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.,解答,a，b不共线，,类型三 平面向量基本定理的应用,解答,解 方法一 (基向量法),方法二 (待定系数法) 如图所示，连结MN并延长交AB的延长线于点T，,反思与感悟,当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.,解答,解 将ae1e2与b3e12e2代入cab， 得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2
7、)e2. 因为c2e13e2，且向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，,跟踪训练3 已知向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，试求，的值.,达标检测,1,2,3,4,答案,1,2,3,4,答案,解析 向量e1，e2不共线，,解析,2.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.,15 12,1,2,3,4,ab,2ac,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据. 2.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.,规律与方法,3.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.,
