1、2.5 向量的应用,第2章 平面向量,学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题. 2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具. 3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 几何性质与向量的关系,思考1,证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？,答案 可用向量共线的相关知识： ababx1y2x2y10(b0).,答案,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.,思考2,证明垂直问题，可用向量的哪些知识？,答案 可用向量垂直的相关知识： abab0x1x2y1y20.,答案
2、,平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 表示出来.,梳理,向量的线性运算及数量积,知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤,1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 . 2.通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“ ”成几何关系.,翻译,向量问题,向量运算,知识点三 物理中的量和向量的关系,1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 . 2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_.,算与减法运算,向量,加法运,1.功是力F与位移S的数量积( ) 2.力的合成与分解体现了
3、向量的加减法运算( ) 3.某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直( ),思考辨析 判断正误,答案,题型探究,类型一 用平面向量求解直线方程,例1 已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4，0)，C(6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点. (1)求直线DE，EF，FD的方程；,解答,解 由已知得点D(1，1)，E(3，1)，F(2，2)，,(2)(x1)(2)(y1)0， 即xy20为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.,(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.,解答,解 设点N(
4、x，y)是CH所在直线上任意一点，,4(x6)4(y2)0， 即xy40为所求直线CH的方程.,反思与感悟,利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.,跟踪训练1 在ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，求A的平分线所在的直线方程.,设P(x，y)是角平分线上的任意一点， A的平分线过点A，,整理得7xy290.,解答,类型二 用平面向量求解平面几何问题,证明,例2 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BECF；,证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(
5、2，2)，E(1，2)，F(0，1).,证明,(2)APAB.,反思与感悟,用向量证明平面几何问题的两种基本思路： (1)向量的线性运算法的四个步骤： 选取基底.用基底表示相关向量.利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.把几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤： 建立适当的平面直角坐标系.把相关向量坐标化.用向量的坐标运算找出相应关系.把几何问题向量化.,跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DPEF.,证明,证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，,方法二 如图，以A为原点，
6、AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1，,类型三 向量在物理学中的应用,命题角度1 向量的线性运算在物理中的应用 例3 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.,解答,在OAC中，ACOBOC60，AOC30， 则OAC90，,答 与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.,(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20 km/h，此时水的流向是
7、正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.,解答,解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度为|v1|20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|20(km/h)， 设帆船行驶的速度为v， 则vv1v2. 由题意，可得向量v1(20cos 60，20sin 60)(10，10 )， 向量v2(20，0)，,所以30，所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20 km/h.,反思与感悟,利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标
8、系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.,跟踪训练3 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度.,解答,解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，,AOC60， 小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30的方向航行.,解答,命题角度2 向量的数量积在物理中的应用 例4 已知两恒力F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功；,力F1，F2对质点所做的功分别为99 J和3 J.,解答,(2)求力F1，F2的合力F对
9、质点所做的功.,(3，4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15) 9(13)(1)(15)11715102(J). 合力F对质点所做的功为102 J.,反思与感悟,物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.,跟踪训练4 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30，|F2|4 N，方向为北偏东60，|F3|6 N，方向为北偏西30，求合力F所做的功.,解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.,解答,达标检测,1,2,3,4,5,1.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的
10、位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W J.,解析 WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J).,300,答案,解析,1,2,3,4,5,2.过点A(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直线方程为 .,解析 设P(x，y)为直线上一点，则 a， 即(x2)2(y3)10，即2xy70.,2xy70,答案,解析,1,2,3,4,5,3.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为 N.,解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2， 则由题意得F1，F2与G都成60角， 且|F1|F2|. |F1|F2|G|10 N， 每根绳子的拉力都为10 N.,10,答案,解析,1,2,3,4,5,22,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 连结AO，O是BC的中点，,2,又M，O，N三点共线，,1,2,3,4,5,答案,解析,利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.,规律与方法,
