1、章末复习,第2章 平面向量,学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征. 2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质. 3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法. 4.进一步理解向量的“工具”性作用.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).,三角形,(x1x2，y1y2),平行四边形,三角形,(x1x2，y1y2),(x1，y1),相同,相反,x1x2y1y2,2.两个定理 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数1
2、，2，使a . 基底：把 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底. (2)向量共线定理 如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使b .,a,不共线,任意,有且只有一对,1e12e2,不共线,所有,3.向量的平行与垂直 a，b为非零向量， 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,ba(a0),ab0,x1x2y1y20,1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底. 2.若向量 共线，则A，B，C，D四点在同一直线上.( ) 提示 也可能ABCD. 3.若a
3、b0，则a0或b0.( ) 4.若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，ab0，但a和b的夹角为.,思考辨析 判断正误,答案,提示,题型探究,类型一 向量的线性运算,答案,解析,反思与感悟,向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.,解答,例2 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab| |akb|(k0). (1)用k表示数量积ab；,解 由|kab| |akb|， 得(kab)23(akb)2， k2a22kabb23a26kab3k2b2
4、. (k23)a28kab(13k2)b20.,类型二 向量的数量积运算,k238kab13k20，,解答,(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.,由对勾函数的单调性可知，,又0，180，60.,解答,反思与感悟,数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以 解决以下问题： (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)， abx1y2x2y10， abx1x2y1y20. (2)求向量的夹角和模的问题,两向量夹角的余弦值(0),(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；,解答,解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，,(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，
5、求实数m的值.,解答,解 若ABC为直角三角形，且A为直角，,类型三 向量坐标法在平面几何中的应用,解答,例3 已知在等腰ABC中，BB，CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值的大小.,解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，其中a0，c0，,因为BB，CC为AC，AB边上的中线，,反思与感悟,把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.,答案,解析,解析 由题意，得AOC90， 故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，,达标检测,1
6、,2,3,4,5,答案,解析,2,解析 如图，设对角线AC与BD交于点O，,1,2,3,4,5,答案,解析,9,解析 ABCD的图象如图所示，由题设知，,1,2,3,4,5,3.已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b与a2b共线，则m的值为 .,答案,解析,2,解析 ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1). ma4b与a2b共线， (2m4)(1)(3m8)40，解得m2.,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 由题意可知，AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，,由xy，得a(t23)b(katb)0， ka2tabk(t23)abt(t23)b20， 即4kt33t0，,1,2,3,4,5,解答,1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.,规律与方法,
