1、1考点规范练 42 直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.已知点 P(3,m)在过 M(2,-1)和 N(-3,4)的直线上,则 m的值是( )A.5 B.2 C.-2 D.-6答案 C解析 过点 M,N的直线方程为y+14+1= x-2-3-2.又 P(3,m)在这条直线上, ,m=-2.m+14+1= 3-2-3-22.过点(2,1)且倾斜角比直线 y=-x-1的倾斜角小 的直线的方程是( )4A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2答案 A解析 直线 y=-x-1的斜率为 -1, 其倾斜角为 ,34 所求直线的倾斜角为34-4=2.又直线过点(2,1), 所求直线的方程为 x
2、=2.3.直线 x+(1-m)y+3=0(m为实数)恒过定点( )A.(3,0) B.(0,-3) C.(-3,0) D.(-3,1)答案 C解析 令 解得x+3=0,(1-m)y=0, x= -3,y=0, 故直线恒过定点( -3,0),故选 C.4.已知点 A(1,3),B(-2,-1),若直线 l:y=k(x-2)+1与线段 AB相交,则 k的取值范围是( )A.k B.k -212C.k 或 k -2 D.-2 k12 12答案 D解析 kmin= =-2,kmax= ,则 -2 k1-32-1 1-(-1)2-(-2)=12 12.5.在同一平面直角坐标系中,作出直线 l1:ax+y
3、+b=0和直线 l2:bx+y+a=0,有可能是( )2答案 B解析 当 a0,b0时, -a0,b0)过点(1,1),则该直线在 x轴、 y轴上的截距之和的最小值为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 C解析 直线 ax+by=ab(a0,b0)过点(1,1),a+b=ab ,即 =1,1a+1ba+b= (a+b) =2+ 2+2 =4,当且仅当 a=b=2时上式等号成立 .(1a+1b) ba+ab baab 直线在 x轴、 y轴上的截距之和的最小值为 4.12.已知两点 M(2,-3),N(-3,-2),直线 l过点 P(1,1)且与线段 MN相交,则直线 l的斜率 k的取值范围是
4、( )A.k 或 k -4 B.-4 k34 34C k4 D.- k4.34 34答案 A解析 根据题意在平面直角坐标系中作出直线如图所示,k PN= ,kPM= =-4,1-(-2)1-(-3)=34 1-(-3)1-24 要使直线 l与线段 MN相交,当 l的倾斜角小于 90时, k kPN;当 l的倾斜角大于 90时, k kPM.k 或 k -4.3413.直线 l过点( -2,2)且与 x轴、 y轴分别交于点( a,0),(0,b),若 |a|=|b|,则 l的方程为 .答案 x+y=0或 x-y+4=0解析 若 a=b=0,则直线 l过点(0,0)与( -2,2),直线 l的斜率
5、 k=-1,直线 l的方程为 y=-x,即 x+y=0.若 a0, b0,则直线 l的方程为 =1,xa+yb由题意知 解得-2a +2b=1,|a|=|b|, a= -4,b=4, 此时,直线 l的方程为 x-y+4=0.综上,直线 l的方程为 x+y=0或 x-y+4=0.14.已知直线 l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线 l恒过定点 . 答案 (2,-2)解析 因为直线 l的方程可变形为 a(x+y)-2x+y+6=0,由 解得 x=2,y=-2,x+y=0,-2x+y+6=0,所以直线 l恒过定点(2, -2).15.设直线 l的方程为( a+1)x+y+2-a=0(aR)
6、 .(1)若 l在两坐标轴上截距相等,则 l的方程为 ; (2)若 l不经过第二象限,则实数 a的取值范围为 . 答案 (1)3x+y=0或 x+y+2=0 (2)a -1解析 (1)当直线经过原点时,该直线在 x轴和 y轴上的截距均为零,此时 a=2,直线 l的方程为3x+y=0;当直线不经过原点时,即 a2,截距存在且均不为 0, =a-2,即 a+1=1,a-2a+1a= 0,直线 l的方程为 x+y+2=0.综上, l的方程为 3x+y=0或 x+y+2=0.(2)l的方程可化为 y=-(a+1)x+a-2,由题意得 a -1.-(a+1) 0,a-2 0, 16.在平面直角坐标系中,
7、已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB,AD边分别在 x轴、 y轴的正半轴上, A点与坐标原点重合 .将矩形折叠,使 A点落在线段 DC上 .若折痕所在直线的斜率为 k,求折痕所在直线的方程 .解 (1)当 k=0时, A点与 D点重合,折痕所在的直线方程为 y=12.5(2)当 k0 时,设矩形折叠后 A点落在线段 CD上的点为 G(a,1).因为 A与 G关于折痕所在的直线对称,所以 kAGk=-1,即 =-1,得 a=-k,ka故 G点坐标为( -k,1),从而折痕所在的直线与 AG的交点坐标(线段 AG的中点坐标)为 M ,(-k2,12)故折痕所在的直线方程为 y- =k ,1
8、2 (x+k2)即 y=kx+k22+12.当 k=0时,折痕所在直线满足该方程,故所求直线方程为 y=kx+k22+12.17.已知直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l的方程:(1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为16.解 (1)由题意知,直线 l存在斜率 .设直线 l的方程为 y=k(x+3)+4,它在 x轴、 y轴上的截距分别为 - -3,3k+4,4k由已知,得(3 k+4) =6,(4k+3)解得 k1=- 或 k2=-23 83.故直线 l的方程为 2x+3y-6=0或 8x+3y+12=0.(2)设直线 l在 y轴上的截距为 b,则直线 l的方程是 y= x+b,它在 x轴上的截距是 -6b,16由已知,得 |-6bb|=6,可得 b=1.故直线 l的方程为 x-6y+6=0或 x-6y-6=0.
