1、1考点规范练 43 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.直线 2x+y+m=0和 x+2y+n=0的位置关系是( )A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定答案 C解析 直线 2x+y+m=0的斜率 k1=-2,直线 x+2y+n=0的斜率 k2=- ,k 1 k2,且 k1k2 -1.故选 C.122.过点(1,2)且垂直于直线 2x+y-5=0的直线方程为( )A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0答案 C解析 直线 2x+y-5=0的斜率为 -2,所以所求直线的斜率为 ,又直线过点(1,2),所以所求直线方程为12x-2y+3=
2、0.3.已知直线 2x+(m+1)y+4=0与直线 mx+3y-2=0平行,则 m=( )A.2 B.-3 C.2或 -3 D.-2或 -3答案 C解析 直线 2x+(m+1)y+4=0与直线 mx+3y-2=0平行,则有 ,故 m=2或 -3.故选 C.2m=m+13 4-24.已知直线 ax+4y-2=0与 2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1, c),则 a+b+c的值为( )A.-4 B.20 C.0 D.24答案 A解析 由两直线垂直得 - =-1,a= 10,将垂足坐标代入 ax+4y-2=0,得 c=-2,再代入 2x-5y+b=0,a425得 b=-12,a+b+c=- 4.
3、5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)对称,则直线 l2经过定点( )A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)答案 B解析 直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)对称, 直线 l2经过定点(0,2) .6.设直线 l1:(a+1)x+3y+2=0,直线 l2:x+2y+1=0,若 l1 l2,则 a= ,若 l1 l2,则 a= . 答案 -712解析 直线 l1:(a+1)x+3y+2=0,直线 l2:x+2y+1=0,分别化为 y=-
4、 x- ,y=- x-a+13 23 12 12.2若 l1 l2,则 - =- ,解得 a=a+13 12 12.若 l1 l2,则 - =-1,解得 a=-7.a+13 (-12)7.点 P(2,1)到直线 l:mx-y-3=0(mR)的最大距离是 . 答案 2 5解析 直线 l经过定点 Q(0,-3),如图所示 .由图知,当 PQ l时,点 P(2,1)到直线 l的距离取得最大值 |PQ|= =2 ,(2-0)2+(1+3)2 5所以点 P(2,1)到直线 l的最大距离为 2 5.8.若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则 m的值为 . 答案 -9解析 由
5、y=2x,x+y=3,得 x=1,y=2.从而可知点(1,2)满足方程 mx+2y+5=0,即 m1+22+5=0,m=-9.能力提升组9.已知 a,b都是正实数,且直线 2x-(b-3)y+6=0与直线 bx+ay-5=0互相垂直,则 2a+3b的最小值为( )A.12 B.10 C.8 D.25答案 D解析 a ,b都是正实数,且直线 2x-(b-3)y+6=0与直线 bx+ay-5=0互相垂直, 2b-(b-3)a=0,变形可得 3a+2b=ab,两边同除以 ab可得 =1,2a+3ba ,b都是正实数, 2a+3b=(2a+3b) =13+ 13+2 =25,(2a+3b) 6ba+6
6、ab 6ba6ab当且仅当 ,即 a=b=5时,上式取到最小值 25,6ba=6ab故选 D.10.已知直线 l1过点( -2,0)且倾斜角为 30,直线 l2过点(2,0)且与直线 l1垂直,则直线 l1与直线l2的交点坐标为( )A.(3, ) B.(2, )3 3C.(1, ) D3 .(1,32)答案 C3解析 直线 l1的斜率为 k1=tan30= ,因为直线 l2与直线 l1垂直,所以 k2=- =- ,所以直线 l1的33 1k1 3方程为 y= (x+2),直线 l2的方程为 y=- (x-2).两式联立,解得 即直线 l1与直线 l2的33 3 x=1,y= 3,交点坐标为(
7、1, ).故选 C.311.若在平面直角坐标系内过点 P(1, )且与原点的距离为 d的直线有两条,则 d的取值范围为( )3A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,4)答案 B解析 设直线的方程为 y- =k(x-1),即 kx-y+ -k=0,原点到该直线的距离 d= ,即( d2-1)3 3|3-k|k2+1k2+2 k+d2-3=0,因为直线与原点的距离为 d的直线有两条,所以方程( d2-1)k2+2 k+d2-3=0有两3 3个不相等的实数根,所以 = (2 )2-4(d2-1)(d2-3)0,化简得 d2(d2-4)0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y
8、-1=0,且 l1与 l2间的距离是7510.(1)求 a的值;(2)能否找到一点 P,使 P同时满足下列三个条件: 点 P在第一象限; 点 P到 l1的距离是点 P到 l2的距离的 ;12 点 P到 l1的距离与点 P到 l3的距离之比是 2 5.若能,求点 P的坐标;若不能,请说明理由 .解 (1)因为直线 l1:2x-y+a=0(a0),直线 l2的方程可化为 2x-y- =0,所以两条平行直线 l1与 l2间的12距离为 d= 所以 ,即|a-(-12)|22+(-1)2=7510. |a+12|5 =7510 |a+12|=72.又 a0,所以 a=3.(2)假设存在点 P,设点 P
9、的坐标为( x0,y0).若点 P满足条件 ,则点 P在与 l1,l2平行的直线 l:2x-y+c=0上,且 ,即 c= 或 c= ,|c-3|5 =12|c+12|5 132 116所以直线 l的方程为 2x0-y0+ =0或 2x0-y0+ =0;132 116若点 P满足条件 ,由点到直线的距离公式,有 ,|2x0-y0+3|5 = 25|x0+y0-1|2即 |2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以 x0-2y0+4=0或 3x0+2=0;5由于点 P在第一象限,所以 3x0+2=0不可能 .联立方程 2x0-y0+ =0和 x0-2y0+4=0,132解得 (舍去);x0= -
10、3,y0=12 联立方程 2x0-y0+ =0和 x0-2y0+4=0,116解得 x0=19,y0=3718.所以存在点 P 同时满足三个条件 .(19,3718)18.已知三角形的一个顶点 A(4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为 l1:x-y-1=0和 l2:x-1=0,求 BC边所在直线的方程 .解 A不在这两条角平分线上,因此 l1,l2是另两个角的角平分线 .点 A关于直线 l1的对称点 A1,点 A关于直线 l2的对称点 A2均在边 BC所在直线 l上 .设 A1(x1,y1),则有y1+1x1-41= -1,x1+42 -y1-12 -1=0,解得 A1(0,3).x1=0,y1=3, 同理设 A2(x2,y2),易求得 A2(-2,-1).BC 边所在直线方程为 2x-y+3=0.
