1、1考点规范练 47 双曲线基础巩固组1.(2018浙江一模摸底)双曲线 =1(a0)的渐近线方程为 ( )x2a2-y24a2A.y=2x B.y= x12C.y=4x D.y= x2答案 A解析 根据双曲线的渐近线方程定义,可知其方程为 y= x=2x.故选 A.2aa2.已知双曲线 C: =1的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C的方程为( )x2a2-y2b2 54A =1 B =1.x24-y23 .x29-y216C =1 D =1.x216-y29 .x23-y24答案 C解析 由焦点 F2(5,0)知 c=5.又 e= ,得 a=4,b2=c2-a2=9.c
2、a=54 双曲线 C的标准方程为 =1.x216-y293.(2017课标 高考)已知 F是双曲线 C:x2- =1的右焦点, P是 C上一点,且 PF与 x轴垂直,点 A的y23坐标是(1,3),则 APF的面积为( )A B C D.13 .12 .23 .32答案 D解析 由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F的坐标为(2,0) .将 x=2代入 x2- =1,得 y=3,所以 PF=3.又点y23A的坐标是(1,3),故 APF的面积为 3(2-1)= ,故选 D.12 324.(2018浙江嘉兴调研)过双曲线 =1(a0,b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于x2a2
3、-y2b2A,B两点,若 OAB的面积为 ,则双曲线的离心率为( )13bc32A B C D.52 .53 .132 .133答案 D解析 由题意可求得 |AB|= ,所以 S OAB= c= ,整理得 ,即 e= 故选 D.2bca 122bca 13bc3 ca= 133 133.5.(2018浙江衢州模拟)已知 l是双曲线 C: =1的一条渐近线, P是 l上的一点, F1,F2是 C的两x22-y24个焦点,若 =0,则点 P到 x轴的距离为( )PF1PF2A B C.2 D.233 . 2 .263答案 C解析 由题意知 F1(- ,0),F2( ,0),不妨设渐近线 l的方程为
4、 y= x,则可设 P(x0, x0).由6 6 2 2=(- -x0,- x0)( -x0,- x0)=3 -6=0,得 x0=PF1PF2 6 2 6 2 x20 2.故点 P到 x轴的距离为 |x0|=2,应选 C.26.点 P是双曲线 =1的右支上的一点, M是圆( x+5)2+y2=4上的一点,点 N的坐标为(5,0),则x29-y216|PM|-|PN|的最大值为 . 答案 8解析 设圆( x+5)2+y2=4圆心为 F,则 |PM|-|PN| |PF|+2-|PN|=2a+2=23+2=8.7.过双曲线 x2- =1的右焦点且与 x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B两
5、点,则 |AB|= .y23答案 4 3解析 由题意知,双曲线 x2- =1的渐近线方程为 y= x,将 x=c=2代入得 y=2 ,即 A,B两点的y23 3 3坐标分别为(2,2 ),(2,-2 ),所以 |AB|=43 3 3.8.已知双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( ,0),则 a= ;b= .x2a2-y2b2 5答案 1 2解析 由 2x+y=0,得 y=-2x,所以 =2.ba又 c= ,a2+b2=c2,解得 a=1,b=2.5能力提升组39.设点 P为有公共焦点 F1,F2的椭圆和双曲线的一个交点,且 cos F1PF2= ,椭圆的离心率为
6、 e1,双曲35线的离心率为 e2,若 e2=2e1,则 e1=( )A B C D.104 .75 .74 .105答案 D解析 设双曲线的实轴长为 2a,则椭圆的长轴长为 4a,不妨设 |PF1|PF2|,在 PF1F2中,由余弦定理可知 4c2=9a2+a2-23aa |PF1|+|PF2|=4a,|PF1|-|PF2|=2a|PF1|=3a,|PF2|=a,e1= ,故选 D.35ca=2105 c2a= 10510.若点 O和点 F(-2,0)分别为双曲线 -y2=1(a0)的中心和左焦点,点 P为双曲线右支上的任意一x2a2点,则 的取值范围为( )OPFPA.3-2 ,+ ) B
7、.3+2 ,+ )3 3C D.-74,+ ) .74,+ )答案 B解析 由 a2+1=4,得 a= ,则双曲线方程为 -y2=1.3x23设点 P(x0,y0),则 =1,即 -1.x203-y20 y20=x203=x0(x0+2)+ +2x0+ -1OPFP y20=x20x203= ,43(x0+34)2-74x 0 , 当 x0= 时, 取最小值 3+2 3 3 OPFP 3.故 的取值范围是3 +2 ,+ ).OPFP 311.若双曲线 =1(a0,b0)上存在一点 P满足以 |OP|为边长的正方形的面积等于 2ab(其中 O为x2a2-y2b2坐标原点),则双曲线的离心率的取值
8、范围是( )A B.(1,52 .(1,72C D.52,+ ) .72,+ )4答案 C解析 由已知条件,得 |OP|2=2ab,P 为双曲线上一点,|OP| a,2ab a2. 2b a.又 c 2=a2+b2 a2+ a2,e=a24=54 ca 52.12.点 P是双曲线 =1(a0,b0)左支上的一点,其右焦点为 F(c,0),若 M为线段 FP的中点,且 Mx2a2-y2b2到坐标原点的距离为 ,则双曲线的离心率 e的取值范围是( )c8A.(1,8 B C D.(2,3.(1,43 .(43,53)答案 B解析 由题意,设 P(x,y),x -a,M ,(x+c2,y2),(x+
9、c)24 +y24=c264即 x2+2cx+c2+ x2-b2= c2,b2a2 c216(cax+a)2=116x -a, x+a -c+a,ca(-c+a)2 c2( -c+a)2 c c-ae= , 10,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,M52 x2a2-y2b2是双曲线 C的一条渐近线上的点,且 OM MF2,O为坐标原点,若 =16,则双曲线的实轴长是( )S OMF2A.32 B.16 C.84 D.4答案 B解析 由题意知 F2(c,0),不妨令点 M在渐近线 y= x上,由题意可知 |F2M|= =b,所以 |OM|=ba bca2+b2=a.由 =16,可得 ab=1
10、6,即 ab=32.又 a2+b2=c2, ,所以 a=8,b=4,c=4 所以c2-b2 S OMF212 ca= 52 5.双曲线 C的实轴长为 16.故选 B.14.(2018浙江台州调研)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线 =1(a0,b0)的两条渐近线分别交x2a2-y2b2于点 A,B.若点 P(m,0)满足 |PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案525解析 双曲线 =1的渐近线方程为 y= x.x2a2-y2b2 ba由 得 A ,y=bax,x-3y+m=0, ( am3b-a,bm3b-a)由 得 B ,y= -bax,x-3y+m=0 (-ama+3b,b
11、ma+3b)所以 AB的中点 C的坐标为 (a2m9b2-a2,3b2m9b2-a2).设直线 l:x-3y+m=0(m0),因为 |PA|=|PB|,所以 PC l.所以 kPC=-3,化简得 a2=4b2.在双曲线中, c2=a2+b2= a2,所以 e=54 ca= 52.15.设双曲线 x2- =1的左、右焦点分别为 F1,F2,若点 P在双曲线上,且 F1PF2为锐角三角形,则y23|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8)7解析 如图,由已知可得 a=1,b= ,c=2,从而 |F1F2|=4,由对称性不妨设点 P在右支上,设 |PF2|=m,则3|PF1|=m+2
12、a=m+2,由于 PF1F2为锐角三角形,结合实际意义需满足 解得 -1+ 0)左焦点 F1的直线交双曲线左支于 A,B两点, C是双曲线右支上一x2a2-y2b2点,且 A,C在 x轴的异侧,若满足 |OA|=|OF1|=|OC|,|CF1|=2|BF1|,则双曲线的离心率为 .答案1736解析 取双曲线的右焦点 F2,连接 CF2,延长交双曲线于 D,连接 AF2,DF1,由 |OA|=|OF1|=|OC|=|OF2|=c,可得四边形 F1AF2C为矩形,设 |CF1|=2|BF1|=2m,由对称性可得 |DF2|=m,|AF1|= ,4c2-4m2即有 |CF2|= ,4c2-4m2由双
13、曲线的定义可得 2a=|CF1|-|CF2|=2m- ,4c2-4m2在直角三角形 DCF1中, |DC|=m+ ,|CF1|=2m,4c2-4m2|DF1|=2a+m,可得(2 a+m)2=(2m)2+(m+ )2 ,4c2-4m2由 可得 3m=4a,即 m= ,4a3代入 可得 2a= ,化简可得 c2= a2,8a3- 4c2-64a29 179即有 e= 故答案为ca= 173. 173.17.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4, - ).点 M(3,m)在2 10双曲线上 .(1)求双曲线方程;(2)求证: =0;MF1MF2(3)求 F1M
14、F2的面积 .(1)解 e= , 可设双曲线方程为 x2-y2= ( 0) .2 双曲线过点(4, - ), 16-10= ,即 = 6.10 双曲线方程为 x2-y2=6.(2)证明 由(1)可知,在双曲线中 a=b= ,c= 2 ,6 3F 1(-2 ,0),F2(2 ,0).3 3, kMF1=m3+23,kMF2= m3-23又 点 M(3,m)在双曲线上, 9-m2=6,m2=3.=- =-1. kMF1kMF2=m3+23 m3-23 m23MF 1 MF2 =0 MF1MF27(3)解 由(2)知 MF1 MF2, MF1F2为直角三角形 .又 F1(-2 ,0),F2(2 ,0
15、),m= ,M(3, )或(3, - ),3 3 3 3 3由两点间距离公式得|MF1|= ,(-2 3-3)2+(0- 3)2= 24+123|MF2|= ,(2 3-3)2+(0- 3)2= 24-123|MF1|MF2|S F1MF2=12=12 24+123 24-123= 12=6,即 F1MF2的面积为 6.1218.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C的方程;(2)若直线 l:y=kx+ 与双曲线 C左支交于 A,B两点,求 k的取值范围;2(3)在(2)的条件下,线段 AB的垂直平分线 l0与 y轴交于 M(0,m),求 m的取值
16、范围 .解 (1)设双曲线 C的方程为 =1(a0,b0).x2a2-y2b2由已知得 a= ,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1,3 双曲线 C的方程为 -y2=1.x23(2)设 A(xA,yA),B(xB,yB),将 y=kx+ 代入 -y2=1,得(1 -3k2)x2-6 kx-9=0.2x23 2由题意知 解得 0,xA+xB= 62k1-3k20, 33 当 k1时, l与双曲线左支有两个交点 .33(3)由(2)得 xA+xB= ,62k1-3k2y A+yB=(kxA+ )+(kxB+ )2 2=k(xA+xB)+2 2=221-3k2.AB 的中点 P的坐标为 (32k1-3k2, 21-3k2).设直线 l0的方程为 y=- x+m,将 P点坐标代入直线 l0的方程,得 m= k1,1k 421-3k2. 338- 21-3k20.m- 2 2.m 的取值范围为( - ,-2 ).2
