1、1考点规范练 37 空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别是线段 BC,CD1的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( )A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直答案 A解析 如图所示,直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交 .2.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1 l2,l2 l3,l3 l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1 l4B.l1 l4C.l1与 l4既不垂直也不平行D.l1与 l4的位置关系不确定答案 D
2、解析 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1,取 l1为 BB1,l2为 BC,l3为 AD,l4为 CC1,则 l1 l4,可知选项 A错误;取 l1为 BB1,l2为 BC,l3为 AD,l4为 C1D1,则 l1 l4,故 B 错误,则 C 也错误,故选 D.3.(2018 浙江高三模拟)给定下列两个关于异面直线的命题:命题(1):若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 与 的交线,则 c至多与 a,b 中的一条相交;命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线 .那么( )A.命题(1)正确,命题(2)不正确B.命题(2)正确,
3、命题(1)不正确C.两个命题都正确D.两个命题都不正确答案 D解析 如图所示,当 c 可以与 a,b 都相交,但交点不是同一个点时,平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线,因此(1)是假命题;对于(2),可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中任意两条是异面直线,从而(2)是假命题;故选 D.24.已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内 .则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a,b 相交,设交点为 P,则
4、 P a,P b.又因为 a ,b ,所以 P ,P . 故 , 相交 .反之,若 , 相交,设交线为 l,当 a,b 都与直线 l 不相交时,则有 a b.显然 a,b 可能相交,也可能异面或平行 .综上,“直线 a,b 相交”是“平面 , 相交”的充分不必要条件 .5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别为 BB1,CC1的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( )A B C D.45 .35 .23 .57答案 B解析 连接 DF,则 AE DF, D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角 .设正方体棱长为 a,则D1D=a,DF= a,D1
5、F= a, cos D1FD=52 52( 52a)2+( 52a)2-a2252a52a =35.6.正方体 ABCD-A1B1C1D1的 12 条棱中,与棱 AA1是异面直线且互相垂直的棱有 条 . 答案 4解析 与 AA1异面且垂直的有 B1C1,BC,CD,C1D1.7.如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 E,F 分别是正方形 A1B1C1D1和 ADD1A1的中心,则 EF 和 CD所成的角是 . 3答案 60解析 连接 A1D,AD1,则 F 恰好是它们的交点,同理 E 是 A1C1,B1D1的交点 .连接 EF,AB1, 正方体 ABCD-A1B1C1D1中,
6、B1B D1D,且 B1B=D1D, 四边形 BB1D1D 是平行四边形,可得 BD B1D1.因此, FED1(或其补角)就是 EF 和 BD 所成的角 .设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则 FED1中, D1E=D1F=EF= ,22 FED1是等边三角形,可得 FED1=60.由此可得 EF 和 BD 所成的角等于 60.8.如图,在四面体 ABCD 中, E,F 分别为 AB,CD 的中点,过 EF 任作一个平面 分别与直线 BC,AD 相交于点 G,H,则下列结论正确的是 . 对于任意的平面 ,都有直线 GF,EH,BD 相交于同一点; 存在一个平面 0,使得 GF
7、 EH BD; 存在一个平面 0,使得点 G 在线段 BC 上,点 H 在线段 AD 的延长线上; 对于任意的平面 ,都有 S EFG=S EFH.答案 解析 逐一判断 .当点 G,H 分别是 BC 和 AD 的中点时,直线 GF,EH,BD 两两相互平行,所以 错误, 正确;点 G 在 BC 上时, GF 与 BD 的延长线的交点 I 一定在 BD 延长线上,连接 EI,与 AD 的交点 H 一定在线段 AD 上,所以 错误;4过点 D 作 DP AB 交 EI 于点 P,因为 (相似),IDIB=DPBE=DPAE所以线段 ,GCBC=DHAD,S GCFS BCD=S DFHS ACD所
8、以四面体 EFGC 与 ECFH 的体积相等 .所以 EFG 与 EFH 的面积相等, 正确 .故正确结论的序号是 .能力提升组9.给出下列四个命题: 分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; 若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直; 垂直于同一直线的两条直线相互平行; 若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 .其中为真命题的是( )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 答案 D解析 分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故 错误;根据面面垂直的判定定理,当一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面一定相互垂直,故
9、 正确;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交,也可能异面,故 错误;由面面垂直的性质定理,当两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故 正确 .故选 D.10.如图,在空间四边形 ABCD 中, E,F 分别是 AB,AD 的中点, G,H 分别在 BC,CD 上,且BGGC=DHHC= 1 2,则下列说法正确的是( )A.EG,FH,AC 交于一点B.EF,GH,BD 交于一点C.EFGH 为平行四边形D.AC平面 EFGH答案 A解析 G ,H 不是 BC,CD 的中点, EF GH.又 EF GH,EG 与 FH 必相交,设其交点为 M,EG 平
10、面 ABC,HF平面 ACD,M 平面 ABC,且 M平面 ACD.M 在平面 ABC 与平面 ACD 的交线上 .5又平面 ABC平面 ACD=AC,M AC.故 EG 与 HF 的交点在直线 AC 上 .11.在空间直角坐标系 Oxyz 中,正三角形 ABC 的顶点 A,B 分别在 xOy 平面和 z 轴上移动 .若 AB=2,则点 C 到原点 O 的最远距离为( )A -1 B.2. 3C +1 D.3. 3答案 C解析 连接 OA,取 AB 的中点 E,连接 OE,CE,根据题意可得: Rt AOB 中,斜边 AB=2,OE= AB=1.12又 正三角形 ABC 的边长为 2,CE=
11、AB= ,32 3对图形加以观察,当点 A,B 分别在 xOy 平面和 z 轴上移动时,可得当 O,E,C 三点共线时,点 C 到原点 O 的距离最远,且最远距离等于 +1.故选 C.312.如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AA1平面 ABCD,AB CD, DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q 为棱 CC1上一动点,过直线 AQ 的平面分别与棱 BB1,DD1交于点 P,R,则下列结论错误的是( )A.对于任意的点 Q,都有 AP QRB.对于任意的点 Q,四边形 APQR 不可能为平行四边形C.存在点 Q,使得 ARP 为等腰直角三角形D.存在点 Q,使得直线 BC
12、平面 APQR答案 C解析 AB CD,AA1 DD1, 平面 ABB1A1平面 CDD1C1, 平面 APQR平面 ABB1A1=AP,平面 APQR平面 CDD1C1=RQ,AP QR,故 A 正确 .6 四边形 ABCD 是直角梯形, AB CD, 平面 BCC1B1与平面 ADD1A1不平行, 平面 APQR平面 BCC1B1=PQ,平面 APQR平面 ADD1A1=AR,PQ 与 AR 不平行,故四边形 APQR不可能为平行四边形,故 B 正确 .延长 CD 至 M,使得 DM=CM,则四边形 ABCM 是矩形,BC AM.当 R,Q,M 三点共线时, AM平面 APQR,BC 平面
13、 APQR,故 D 正确 .故选 C.13.(2017 浙江温州模拟)如图,在四边形 ABCD 中, AB=BD=DA=2,BC=CD= 现将 ABD 沿 BD 折起,当二面2.角 A-BD-C 处于 过程中,直线 AB 与 CD 所成角的余弦值取值范围是( ) 6,56A B.-528,28 .28,528C D.0,28 .0,528答案 D解析 如图所示,取 BD 中点 E,连接 AE,CE, AEC 即为二面角 A-BD-C 的平面角,而 AC2=AE2+CE2-2AECEcos AEC=4-2 cos AEC, AEC ,AC 1, ,3 6,56 77=2 cos= ( )=-2+
14、ABBC =1- - ,设异 ABCD 2 AB,CDABBD-BC AB2+BC2-AC22ABBC AC22 52,12面直线 AB,CD 所成的角为 , 0cos ,故选 D. 12252=52814.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,则直线 BN 与 MB1是 直线(填“相交”或“平行”或“异面”);直线 MN 与 AC 所成的角的大小为 . 答案 异面 60解析 (1)M,B,B1三点共面,且在平面 MBB1中,点 N平面 MBB1,BMB1,因此直线 BN 与 MB1是异面直线;(2)连接 D1C,因为 D1C MN,所以直
15、线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角,且角为 60.15.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为 1 的正方形,点 E 在侧棱 AA1上,满足 C1EB=90,则异面直线 BE 与 C1B1所成的角为 ,侧棱 AA1的长的最小值为 . 答案 90 2解析 连接 BC1,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, CB平面 ABB1A1, CBE=90.又 C1B1 BC, 异面直线BE 与 C1B1所成的角为 90.设 AA1=x,AE=m(m0),所以 BE2=1+m2,E =(x-m)2+2,B =1+x2,因为C21 C21 C1EB=90,所以 B
16、 =E +BE2,即 1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即 m2-mx+1=0,所以 x=m+ 2 当且仅当C21 C211mm= ,即 m=1 时等号成立 .1m16.(2018 浙江桐乡一中)在三棱锥 A-BCD 中, AD BC,AD=BC=2,AB=CD=4,则直线 AB 与 CD 所成角的大小为 . 答案 45解析 取 BD 的中点 G,连接 EG,FG, ABD 中, E,G 分别为 AB,BD 的中点, EG AD 且 EG= AD.同理可得 FG BC,且 FG= BC,12 12EF 与 FG 所成的直角或锐角就是异面直线 EF 与 BC 所成的角 .AD BC 且 AD
17、=BC,8 EFG 中, EG GF 且 EG=GF. EGF=45,即异面直线 EF 与 BC 所成角等于 45.故答案为 45.17.已知正方形 ABCD 和矩形 ADEF,DE平面 ABCD,G 是 AF 的中点 .(1)求证: EB AC;(2)若直线 BE 与平面 ABCD 成 45角,求异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值 .(1)证明 在矩形 ADEF 中, ED AD. 平面 ADEF平面 ABCD,且平面 ADEF平面 ABCD=AD,ED 平面 ABCD.ED AC.(2)解 由(1)知: ED平面 ABCD, EBD 是直线 BE 与平面 ABCD 所成的角,即 EB
18、D=45.设 AB=a,则 DE=BD= a,取 DE 的中点 M,连接 AM.2G 是 AF 的中点, AM GE. MAC 是异面直线 GE 与 AC 所成角或其补角 .连接 BD 交 AC 于点 O.AM=CM= a,O 是 AC 的中点,a2+(22a)2= 62MO AC. cos MAC=AOAM= 22a62a= 33. 异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值为33.18.(2018 北京高考)如图, ABC 是等腰直角三角形 CAB=90,AC=2a,E,F 分别为 AC,BC 的中点,沿 EF将 CEF 折起,得到如图所示的四棱锥 C-ABFE.(1)求证: AB平面 AE
19、C;(2)当四棱锥 C-ABFE 体积取最大值时,若 G 为 BC中点,求异面直线 GF 与 AC所成角 .9(1)证明 因为 ABC 是等腰直角三角形, CAB=90,E,F 分别为 AC,BC 的中点,所以 EF AE,EF CE.又因为 AE CE=E,所以 EF平面 AEC.由于 EF AB,所以有 AB平面 AEC.(2)解 取 AC中点 D,连接 DE,EF,FG,GD,由于 GD 为 ABC中位线,以及 EF 为 ABC 中位线,所以四边形 DEFG 为平行四边形 .直线 GF 与 AC所成角就是 DE 与 AC所成角 .所以四棱锥 C-ABFE 体积取最大值时, CE 垂直于底面 ABFE.此时 AEC为等腰直角三角形, ED为中线,所以直线 ED AC.所以异面直线 GF 与 AC所成角为 90.
