1、1考点规范练 39 直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.已知 m 和 n 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m 的是( )A. ,且 m B. ,且 m C.m n,且 n D.m n,且 答案 C解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知 C 正确 .2.若平面 , 满足 , =l ,P ,Pl,则下列命题中是假命题的为( )A.过点 P 且垂直于平面 的直线平行于平面 B.过点 P 且垂直于直线 l 的直线在平面 内C.过点 P 且垂直于平面 的直线在平面 内D.过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 答案 B解析 由于过点
2、 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线,因此也平行于平面 ,因此 A 正确 .过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 ,不一定在平面 内,因此 B 不正确 .根据面面垂直的性质定理知,选项 C,D 正确 .3.如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是( )A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE,且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC,且平面 ADC平面 BDE答案 C解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE AC.同理有 DE A
3、C,于是 AC平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD,所以平面 ACD平面 BDE,故选 C.4.如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:2BD AC; BAC 是等边三角形; 三棱锥 D-ABC 是正三棱锥; 平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( )A. B. C. D.答案 B解析 由题意知, BD平面 ADC,且 AC平面 ADC,故 BD AC, 正确; AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高,平面 ABD平面 ACD
4、,所以 AB=AC=BC, BAC 是等边三角形, 正确;易知 DA=DB=DC,又由 知 正确;由 知 错 .5.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于( )A B C D.64 .104 .22 .32答案 A解析 如右图所示,取 A1C1中点 D,连接 AD,B1D,则可知 B1D平面 ACC1A1, DAB1即为直线 AB1与平面 ACC1A1所成的角,不妨设正三棱柱的棱长为 2, 在 Rt AB1D 中,sin DAB1= ,故选 A.B1DAB1= 322= 646.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,
5、侧棱 AA1底面 ABC,AB=BC,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1的中点,点 F在线段 AA1上,当 AF= 时, CF平面 B1DF. 答案 a 或 2a解析 由题意易知, B1D平面 ACC1A1,所以 B1D CF,所以要使 CF平面 B1DF,只需 CF DF 即可 .当CF DF 时,设 AF=x,则 A1F=3a-x.由 Rt CAFRt FA1D,得 ,即 ,整理得 x2-3ax+2a2=0,解得 x=a 或 x=2a.ACA1F=AFA1D 2a3a-x=xa37.设 , 是空间两个不同的平面, m,n 是平面 及 外的两条不同直线 .从“m n; ;n ;m ”
6、中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示) . 答案 (或 )解析 逐一判断 .若 成立,则 m 与 的位置关系不确定,故 错误;同理 也错误; 与 均正确 .8.(2018 浙江嘉兴)如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点, AC=BC=4,PA=4 ,则二面角 A-PB-C 的平面角的正弦值为 . 2答案63解析 如图,连接 CO,AC=BC= 4,PA=4 ,2AB= 4 AB OC.2.过点 O 在平面 PAB 上作 OM PB 于点 M,连接 CM,由三垂线定理可知 CM PB,
7、 OMC 是二面角A-PB-C 的平面角 .CO= 2 ,CM=2 ,2 3 在 Rt OMC 中 sin OMC=2223= 63.能力提升组9.设 a,b 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列四个命题错误的是( )A.若 a b,a ,b ,则 b B.若 a b,a ,b ,则 C.若 a , ,则 a 或 aD.若 a , ,则 a 答案 D解析 若 a b,a ,b ,则由直线与平面平行的判定定理得 b ,故 A 正确;若a b,a ,b ,则由平面与平面垂直的判定定理得 ,故 B 正确;若 a , ,则由线4面垂直、面面垂直的性质得 a 或 a ,故 C 正确;若 a
8、, ,则 a 与 相交、平行或a ,故 D 错误 .故选 D.10.已知 a,b 是两条互相垂直的异面直线,下列说法中不正确的是 ( )A.存在平面 ,使得 a 且 b B.存在平面 ,使得 b 且 a C.若点 A,B 分别在直线 a,b 上,且满足 AB b,则一定有 AB aD.过空间某点不一定存在与直线 a,b 都平行的平面答案 C解析 对于 A,设 a,b 的公垂线为 AB,其中 A a,B b.过 B 作 a 的平行线 a,设直线 a 与 a确定的平面为平面 ,则 AB ,a ,a ,b AB,b a,b . 故 A 正确 ;对于 B,过 b 上一点 C 作 a a,设 b 与 a
9、所确定的平面为 ,则 a ,故 B 正确;对于 C,设a,b 的公垂线为 CB,且 C a,B b.在 a 上取异于 C 的点 A,则 b平面 ABC,AB b,但显然 AB 与 a 不垂直,故 C 错误;对于 D,当空间一点在直线 a 或直线 b 上时,显然不存在与直线 a,b 都平行的平面,故 D 正确 .故选 C.11.如图, , =l ,A ,B ,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b.AB 与 , 所成的角分别是 和 ,AB 在 , 内的射影线段长度分别是 m 和 n.若 ab,则( )A. ,mn B. ,mn答案 D解析 由题意可得AB2=a2+n2=b2+m2,ab,tan =an,tan =bm, 即有 故选 D.mn, d3d2,所以 ,所以 |= ,|n1n2|n1|n2|= 6815= 3010故二面角 C-AD-B 的平面角的余弦值为3010.
