1、1考点规范练 20 正弦定理和余弦定理基础巩固组1.在 ABC 中,若 AB= ,BC=3, C=120,则 AC=( )13A.1 B.2 C.3 D.4答案 A 解析 由余弦定理得 13=9+AC2+3ACAC=1.故选 A.2.(2017 台州二次适应性测试)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2+b2-c2=ab= ,则3 ABC 的面积为( )A. B. C. D.34 34 32 32答案 B 解析 依题意得 cosC= ,C=60,因此 ABC 的面积等于 absinC= ,故a2+b2-c22ab =12 12 12 332=34选 B.3.(20
2、17 浙江温州瑞安模拟)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则 B= ( )12A. B. C. D. 6 3 23 56答案 A 解析 利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB, sinB0, sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= ,ab ,12 12 A B,即 B 为锐角,则 B= .故选 A. 64.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=1, ,则 A= . sinBsinC=12+cos
3、Cc答案 60 解析 由条件 ,sinBsinC=12+cosCc得 bc=12+cosCc则 b= c+cosC= c+ ,即 b2+c2=bc+1,12 12 1+b2-c221c 1=b2+c2-2bccosA,可得 cosA= ,A= 60.125.(2018 浙江高考)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= ,b=2,A=60,则 sin B= 7,c= . 2答案 3 217解析 由正弦定理 ,asinA= bsinB可知 sinB= .bsinAa =2sin607 =2327 = 217a= b=2,B 为锐角 .7 cosB= .1-sin2B=
4、 47=277 cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= .32217 -277 12=37-2714 = 714由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC=7+4-22 =7+4-2=9.c= 3.77146.(2018 浙江诸暨 5 月适应考试)在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c,已知 sin A+sin B= sin C,且 ABC 的周长为 9,则 c= ;若 ABC 的面积等于 3sin C,则 cos C= .54答案 4 - 14解析 ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c, sinA+sinB= sinC
5、, 由正弦定理得 a+b= ,54 5c4又 ABC 的周长为 9,则 c+ =9,解得 c=4.5c4若 ABC 的面积等于 3sinC,即 absinC=3sinC,12整理得 ab=6.又 a+b= =5,5c4解得 cosC= =- .a=2,b=3,或 a=3,b=2, a2+b2-c22ab 14能力提升组7.(2018 浙江温州期末)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若( a2+b2-c2)tan C=ab,则角 C的大小为( )A. B. C. D. 6或 56 3或 23 6 23答案 A 解析 由( a2+b2-c2)tanC=ab 可得, tan
6、C= ,a2+b2-c22ab 123由余弦定理可得 cosCtanC=sinC= ,12因为 0C,所以角 C 的大小为 ,故选 A. 6或 568.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=30, ABC 的面积为 ,且 sin A+sin C=2sin 32B,则 b 的值为( )A.4+2 B.4-2 C. -1 D. +13 3 3 3答案 D 解析 由已知可得 acsin30= ,解得 ac=6,12 32又 sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可得 a+c=2b,由余弦定理: b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac- ac=4b2-
7、12-6 , 解得 b2=4+2 ,b= 1+ .3 3 3 3故选 D.9.在锐角 ABC 中,若 A=2B,则 的范围是( a,b 分别为角 A,B 的对边长)( )abA.( ) B.( ,2) C.(0,2) D.( ,2)2, 3 3 2答案 A 解析 A= 2B, 根据正弦定理得 =2cosB.(sinB0) A+B+C= 180, 3B+C=180,即ab=sinAsinB=2sinBcosBsinBC=180-3B. 角 C 为锐角, 30B60.又 0A=2B90, 30B45, cosB ,即22 322cosB ,则 的取值范围是( ),故选 A.2 3ab 2, 310
8、.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=1,2b- c=2acos C,sin C= ,则 ABC 的332面积为( )A. B. C. D.32 34 32或 34 3或 32答案 C 解析 根据正弦定理可得 2sinB- sinC=2sinAcosC,而 sinB=sin(A+C),整理为 2cosAsinC= sinC,3 3所以 cosA= ,所以 A=30, ,解得 c= ,因为 sinC= ,所以 C=60或 C=120,当32 asinA= csinC 3 32C=60时, B=90,此时 ABC 的面积为 S= ac= ,当 C=120时, B=
9、30,此时 ABC 的面积为12 32S= acsinB= ,故选 C.12 34411.在锐角 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2bsin C,则 tan A+tan B+tan C 的最小值是( )A.4 B.3 C.8 D.63 3答案 C 解析 a= 2bsinC, sinA=2sinBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,两边同除 cosBcosC, 2tanBtanC=tanB+tanC,又 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC, tanB+tanC= ,2tanAtanA-2 tanA+tanB+tanC=
10、tanA+ =tanA-2+ +48,当且仅当 tanA=4 时取等号 .2tanAtanA-2 4tanA-212.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成等差数列,且 a=1,b= ,则 S3ABC= . 答案 32解析 因为角 A,B,C 依次成等差数列,所以 B=60.由正弦定理,得 ,解得 sinA= ,因为1sinA= 3sin60 120A180,所以 A=30或 150(舍去),此时 C=90,所以 S ABC= ab= .12 3213.在等腰 ABC 中, AB=AC,AC 边上的中线 BD 长为 6,则当 ABC 的面积取得最大
11、值时, AB 的长为 .答案 4 5解析 根据题意,设 AB=AC=2x,则 AD=x(2x6),由余弦定理,得 cosA= ,AB2+AD2-BD22ABAD =5x2-364x2 =54-9x2所以 sinA= ,1-(54-9x2)2所以 S ABC= ABACsinA= 4x2 =2 24,当 x2=20,即12 12 1-(54-9x2)2 -916(x2-20)2+144x=2 时等号成立,所以当 ABC 的面积取得最大值时, AB 的长为 4 .5 514.(2017 浙江温州模拟改编)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a=2,2cos 2 +sin
12、 B+C2A= ,45(1)若满足条件的 ABC 有且只有一个,则 b 的取值范围为 ; (2)当 ABC 的周长取最大值时,则 b 的值为 . 答案 (1)(0,2 (2) 103 10解析 (1)2cos2 +sinA= 1+cos(B+C)+sinA= ,即 sinA-cosA=- ,B+C2 45 45 155又 0A,且 sin2A+cos2A=1,有 若满足条件的 ABC 有且只有一个,则有 a=bsinAsinA=35,cosA=45,或 a b,则 b 的取值范围为(0,2 ;103(2)设 ABC 的周长为 l,由正弦定理得 l=a+b+c=a+ (sinB+sinC)=2+
13、 sinB+sin(A+B)=2+asinA 103(sinB+sinAcosB+cosAsinB)=2+2(3sinB+cosB)=2+2 sin(B+ ),其中 为锐角,且103 10lmax=2+2 ,当 cosB= ,sinB= 时取到等号,此时 b= sinB= .sin = 1010,cos =31010, 10 1010 31010 asinA 1015.(2018 江苏调研)已知 ABC 中,若角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,满足 a+ +4cos C=0,b=1.1a(1)若 ABC 的面积为 ,求 a;32(2)若 A= ,求 ABC 的面积 . 6解 (1)由
14、 S= absinC= asinC= 得 asinC= ,即 sinC= .又 a+ =-4cosC,那么12 12 32 3 3a 1aa+ 2=16cos2C=16(1-sin2C)=16- ,即 a4-14a2+49=0,得到 a2=7,即有 a= .1a 48a2 7(2)由题意有 a+ =-4cosC 及余弦定理 cosC= ,有 a+ =-4 =- ,即1a a2+b2-c22ab 1a a2+b2-c22ab 2(a2+1-c2)aa2+1= c2, 23又由 b2+c2-a2=2bccosA 可知 c2-a2+1= c, 3由 得到 c2-3 c+6=0,即( c- )(c-2
15、 )=0,可知 c= 或 c=2 .经检验, c= 或 c=23 3 3 3 3 3均符合题意,3则 ABC 的面积为 S= bcsinA= .12 32或 3416.(2017 浙江名校联考)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 c=2,C= . 3(1)当 2sin 2A+sin(2B+C)=sin C 时,求 ABC 的面积;(2)求 ABC 周长的最大值 .解 (1)由 2sin2A+sin(2B+C)=sinC,得 4sinAcosA-sin(B-A)=sin(A+B),得 2sinAcosA=sinBcosA,当cosA=0 时, A= ,B= ,a= ,b= , 2 6 433 2336当 cosA0 时,sin B=2sinA,由正弦定理 b=2a,联立 解得 a= ,b= ,故三a2+b2-ab=4,b=2a, 233 433角形的面积为 S ABC= absinC= ;12 233(2)由余弦定理及已知条件可得 a2+b2-ab=4,由( a+b)2=4+3ab4 +3 得 a+b4,故 ABC 周(a+b)24长的最大值为 6,当且仅当三角形为正三角形取到 .
