1、高考解答题专讲立体几何,-2-,从近五年的高考试题来看,立体几何在历年高考中一般出现在解答题中,有两小题组成,第一小题主要考查线面平行、垂直关系的证明,第二小题主要考查空间角,目前在新高考下以线面角的考查为主,也可能考查二面角.解决立体几何空间角问题主要是要掌握“作、证、算”三步;也可以利用空间向量来求空间角.立体几何解答题着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.,-3-,题型一,题型二,题型三,题型四,传统法求空间角 利用传统法求空间角问题要熟练掌握解题三步曲:“作,证,算”.,【例1】 (2018浙江高三模拟)如图,四棱锥
2、P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PA底面ABCD,PA=AD,点E,F分别是棱PD,BC的中点.(1)求证:AEPC; (2)求直线PF与平面PAC所成的角的正切值.,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明:因为PA底面ABCD,所以PADC. 因为底面ABCD是正方形,所以ADDC. 因为ADPA=A, 所以DC平面PAD. 因为AE平面PAD,所以AEDC. 又因为PA=AD,E是棱PD的中点,所以AEPD. 因为PDDC=D,所以AE平面PDC, 因为PC平面PDC,所以AEPC.,-5-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解:如图,过点F作FHAC于点H,连接P
3、H,由F是棱BC的中点,底面是正方形可得,又由PA底面ABCD得到PAFH, 因为ACPA=A,所以FH平面PAC. 所以FPH为直线PF与平面PAC所成的角.,-6-,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,侧棱AA1底面ABCD,AB=1,AC= ,BC=BB1=2.(1)求证:AC平面ABB1A1; (2)求二面角A-C1D-C的平面角的余弦值.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,分析:(1)推导出ABAC,AA1AC,由此能证明AC平面ABB1A1. (2)过点C作CPC1D于P,连接AP,又AC平面DCC1D
4、1,从而CPA是二面角A-C1D-C的平面角,由此能求出二面角A-C1D-C的平面角的余弦值. (1)证明:在底面ABCD中,AB=1,AC= ,BC=2, AB2+AC2=BC2,ABAC, 侧棱AA1底面ABCD,AA1AC, 又AA1AB=A,AA1,AB平面ABB1A1, AC平面ABB1A1.,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解:过点C作CPC1D于P,连接AP,由(1)可知,AC平面DCC1D1,CPA是二面角A-C1D-C的平面角, CC1=BB1=2,CD=AB=1,策略技巧1.浙江高考中空间向量与立体几何的问题常常第一问证明平行和垂直关系,第二问求空间角相关问题
5、. 2.传统法求空间角:通过“作、证、算”三步曲可以得到空间角.,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练如图,AB=BE=BC=2AD=2,且ABBE,DAB=60,ADBC,BEAD,(1)求证:平面ADE平面BDE; (2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明:AB=2AD,DAB=60,ADDB. 又BEAD,且BDBE=B, AD平面BDE,又AD平面ADE,平面ADE平面BDE. (2)解:BEAD,ABBE,BE平面ABCD. 点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长,为2. 设AD与平面DCE所成角为,点A到平面D
6、CE的距离为d,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,利用空间向量求空间角 空间向量是一种计算空间角的很好的工具,可以避免作空间角这一难点,把几何问题代数化. 【例3】 如图,在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,O为AC的中点,点P为平面ABCD外一点,且平面PAC平面ABCD,PO=1,PA=2.(1)求证:PO平面ABCD; (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,分析:(1)借助题设运用线面垂直的判定定理推证; (2)建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积公式求解. (1)证明:在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,AO=
7、, 又因为PO=1,PA=2, 所以PO2+AO2=4=PA2,所以AOPO. 因为平面PAC平面ABCD,平面PAC平面ABCD=AC, 又因为PO平面PAC,所以PO平面ABCD.,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解:以O为原点,OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,策略技巧利用空间向量求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当坐标系,准确写出相关点、向量的坐标. (2)利用方程思想,计算两平面的法向量. (3)由方向向量、法向量的夹角公式求对应空间角. (4)检验反思,查看关键点,规范解题步骤.,-15-
8、,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC; (2)已知EF=FB= AC=2 ,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.,-16-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明:取FC中点Q,连接GQ,QH,又EFBO,GQBO. 平面GQH平面ABC. GH平面GQH,GH平面ABC.,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解:AB=BC,BOAC. 又OO平面ABC,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OO为z轴,建立空间直角坐标
9、系,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,-19-,题型一,题型二,题型三,题型四,立体几何中的探究性问题 立体几何中的探究性问题是一种开放性问题,在结论未定的情况下,需要根据条件猜想结论,证明结论.探索性问题借助空间向量常常具有较好的效果.,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,【例4】 多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,BEDF,BE=DF,BE平面ABCD,且BE=2AB=2,点P是线段BE上的一点,且BP=.(1)当= 时,求证:BF平面PAC. (2)是否存在,使直线BF与平面PAC所成角的正切值为2 ?若存在,有几个P点满足条件?并求出对应;若不存在,请说明理由.
10、,-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明:连接BD交AC于M,连接PM. BE平面ABCD,BEAC, 又四边形ABCD为正方形,BDAC. AC平面BDFE.ACBF.,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解:AC平面BDFE,平面PAC平面BDFE. BF在平面PAC内的射影为PM, 故直线BF与平面PAC所成角即BF与PM所成的角,记为, 在平面BDFE中,令PMBF=N,则BNM=或BNM=180-, 再令BPN=,PBN=,当BNM=时,策略技巧对于线面关系中的探索性问题,首先假设存在,然后在这个假设下利用线面关系的性质进行推理论证,寻求假设满足的条件.若条
11、件满足,则肯定假设;若得到矛盾,则否定假设.,-23-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=PD=2,PA=2 ,PDC=120,点E为线段PC的中点,点F在线段AB上.(1)若AF= ,求证:CDEF; (2)求证:平面PCD平面ABCD; (3)设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为,是否存在点F使得cos = ?若存在,求出AF长;若不存在,请说明理由.,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明:在PCD中,PD=CD=2, E为PC的中点,DE平分PDC,PDE=60, 在RtPDE中,DE=PDcos 6
12、0=1,又CDEH,FHEH=H,CD平面EFH. 又EF平面EFH,CDEF. (2)证明:AD=PD=2,PA=2 ,ADPD. 又ADDC,AD平面PCD. 又AD平面ABCD, 平面PCD平面ABCD.,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,(3)解:过D作DGDC交PC于点G,则由平面PCD平面ABCD知,DG平面ABCD, 故DA,DC,DG两两垂直,以D为原点,以DA,DC,DG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,-27-,题型一,题型二,题型三,题型四,立体几何中的翻折问题 立体几何中的翻折问题是一
13、个较难的问题.解题关键是找到翻折过程中不变的量之间的关系.,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,【例5】 如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点.将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)求证:BC平面ACD; (2)求二面角A-CD-M的余弦值.,-29-,题型一,题型二,题型三,题型四,分析:(1)要证BC平面ACD,只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC,OD即可; (2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角A-CD-M的余弦值.,从而AC2
14、+BC2=AB2,故ACBC. 取AC中点O,连接DO,则DOAC, 又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,DO平面ACD,从而OD平面ABC,ODBC. 又ACBC,ACOD=O,BC平面ACD.,从而AC2+BC2=AB2,故ACBC.,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,平面ADC平面ABC,平面ADE平面ABC=AC,BC平面ABC,从而BC平面ACD. (2)解:建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,策略技巧平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和数量关系的变化情况.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不
15、发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练(2018浙江台州高三模拟)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,将ADM沿AM折起,使得平面ADM平面ABCM.(1)求证ADBM; (2)若E是线段DB上的一动点,当二面角E-AM-D的大小为 时,试确定点E的位置.,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:在长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,AM=BM= BMAM. 平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,BM平面ABCM,BM平面ADM.AD平面ADM, ADBM.,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)过点E作MB的平行线交DM于点F,BM平面ADM, EF平面ADM. 在平面ADM中,过点F作AM的垂线,垂足为H,则EHF为二面角E-AM-D的平面角,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,感悟提高 1.注重基础、抓住关键.线面角、直线与平面的垂直、平行常考常新,在复习中应引起足够重视. 2.抓住空间位置关系中平行、垂直这一核心内容强化训练.转化与化归是本章永恒不变的主题,不仅要重视线线、线面、面面平行(垂直)间的转化,而且要注意平行与垂直间的转化与化归,另外还要着力加强严谨、规范的解题训练,避免由解题步骤混乱、条件的缺失导致失分.,
