1、1第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为 l a，a ， l ，所以 l 性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为 l ，l ， b，所以 l b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为 a ，b ， ab P，a ， b ，所以 性质定理如
2、果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为 ， a， b，所以 a b3.线、面平行中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a ， a ，则 ；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a ， b ，则 a b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则 .2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( )(3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a .( )(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平
3、面，那么这两个平面平行( )(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)(教材习题改编)如果直线 a平面 ，那么直线 a 与平面 内的( )A一条直线不相交 B两条直线不相交C无数条直线不相交 D任意一条直线都不相交解析：选 D.因为 a平面 ，直线 a 与平面 无公共点，因此 a 和平面 内的任意一条直线都不相交，故选 D.a、 b、 c 为三条不重合的直线， 、 、 为三个不重合的平面，现给出四个命题：Error! Error! Error! a Error! a 其中正确的命题是_解析：正确错在 与 可能相交错在 a
4、 可能在 内答案：(教材习题改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系为_解析：如图，连接 AC， BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OE BD1，而 OE平面 ACE， BD1平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案：平行线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中高考对线面平行的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)线面位置关系的判断；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用3典例引领
5、角度一 线面位置关系的判断设 m， n 表示不同直线， ， 表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ， m ， n ，则 C若 ， m ， m n，则 n D若 ， m ， n m， n ，则 n 【解析】 A 错误， n 有可能在平面 内；B 错误，平面 有可能与平面 相交；C 错误，n 也有可能在平面 内；D 正确，易知 m 或 m ，若 m ，又 n m， n ，所以n ，若 m ，过 m 作平面 交平面 于直线 l，则 m l，又 n m，所以 n l，又n ， l ，所以 n .【答案】 D角度二 线面平行的证明在正方体 ABCDA1B
6、1C1D1中， E， F， G， H 分别是 BC， CC1， C1D1， A1A 的中点求证：(1)BF HD1；(2)EG平面 BB1D1D.【证明】 (1)如图所示，取 BB1的中点 M，连接 MH， MC1，易证四边形 HMC1D1是平行四边形，所以 HD1 MC1.又因为在平面 BCC1B1中， BM 綊 FC1，所以四边形 BMC1F 为平行四边形，所以 MC1 BF，所以 BF HD1.(2)取 BD 的中点 O，连接 EO， D1O，则 OE DC 且 OE DC，12又 D1G DC 且 D1G DC，12所以 OE 綊 D1G，所以四边形 OEGD1是平行四边形，所以 GE
7、 D1O.又 D1O平面 BB1D1D， GE平面 BB1D1D，所以 EG平面 BB1D1D.角度三 线面平行性质的应用4如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， E 为线段 AD 上的任意一点(不包括 A， D 两点)，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG.证明： FG平面 AA1B1B.【证明】 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， BB1 CC1， BB1平面 BB1D， CC1平面 BB1D，所以 CC1平面 BB1D，又 CC1平面 CEC1，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG，所以 CC1 FG，因为 BB1 CC1，所以 BB1 FG，而 BB1平面 AA1
8、B1B， FG平面 AA1B1B，所以 FG平面 AA1B1B.证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明 通关练习1(2017高考全国卷)如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点，M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析：选 A.对于选项 B，如图所示，
9、连接 CD，因为 AB CD， M， Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ CD，所以 AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.故选 A.52.如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， F 是 AB 的中点， E 是PD 的中点(1)证明： PB平面 AEC；(2)在 PC 上求一点 G，使 FG平面 AEC，并证明你的结论解：(1)证明：连接 BD 与 AC 交于点 O，连接 EO.因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点，所以 EO PB.因为 EO平面
10、 AEC， PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)PC 的中点 G 即为所求的点证明如下：连接 GE、 FG，因为 E 为 PD 的中点，所以 GE 綊 CD.12又 F 为 AB 的中点，且四边形 ABCD 为矩形，所以 FA 綊 CD.12所以 FA 綊 GE.所以四边形 AFGE 为平行四边形，所以 FG AE.又 FG平面 AEC， AE平面 AEC，所以 FG平面 AEC.面面平行的判定与性质典例引领如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F， G， H 分别是AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证：(1)B， C， H， G 四点共面；6(2)平面 E
11、FA1平面 BCHG.【证明】 (1)因为 G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点，所以 GH B1C1，又 B1C1 BC，所以 GH BC，所以 B， C， H， G 四点共面(2)在 ABC 中， E， F 分别为 AB， AC 的中点，所以 EF BC，因为 EF平面 BCHG， BC平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.又因为 G， E 分别为 A1B1， AB 的中点，所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1E GB.因为 A1E平面 BCHG， GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.又因为 A1E EF E，所以平面 EFA1平
12、面 BCHG.1在本例条件下，若 D 为 BC1的中点，求证： HD平面 A1B1BA.证明：如图所示，连接 HD， A1B，因为 D 为 BC1的中点，H 为 A1C1的中点，所以 HD A1B，又 HD平面 A1B1BA，A1B平面 A1B1BA，所以 HD平面 A1B1BA.2在本例条件下，若 D1， D 分别为 B1C1， BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明：如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，因为四边形 A1ACC1是平行四边形，所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD，因为 D 为 BC 的中点，所以 A1B DM.因为 A1B平面 A1BD1，DM平
13、面 A1BD1，所以 DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知， D1C1綊 BD，7所以四边形 BDC1D1为平行四边形，所以 DC1 BD1.又 DC1平面 A1BD1， BD1平面 A1BD1，所以 DC1平面 A1BD1，又因为 DC1 DM D， DC1， DM平面 AC1D，所以平面 A1BD1平面 AC1D. 如图， AB平面 平面 ，过 A， B 的直线 m， n 分别交 ， 于 C， E 和 D， F，若 AC2， CE3， BF4，则 BD 的长为( )A. B.65 75C. D.85 95解析：选 C.由 AB ，易证 .ACCE BDDF即 ，ACAE BDBF所以
14、BD .ACBFAE 245 85线、面平行中的探索性问题典例引领如图，四棱锥 PABCD 中， AB CD， AB2 CD， E 为 PB 的中点(1)求证： CE平面 PAD；(2)在线段 AB 上是否存在一点 F，使得平面 PAD平面 CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由【解】 (1)证明：如图所示，取 PA 的中点 H，连接 EH， DH，因为 E 为 PB 的中点，8所以 EH AB， EH AB，12又 AB CD， CD AB.12所以 EH CD， EH CD，因此四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE DH，又 DH平面 PAD， CE平面 PAD，所以 C
15、E平面 PAD.(2)如图所示，取 AB 的中点 F，连接 CF， EF，所以 AF AB，又 CD AB，所以 AF CD，12 12又 AF CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形，所以 CF AD，又 CF平面 PAD，所以 CF平面 PAD，由(1)可知 CE平面 PAD，又 CE CF C，故平面 CEF平面 PAD，故存在 AB 的中点 F 满足要求解决探索性问题的方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”“只需使成立” 如图，
16、已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AD DC， AB DC， DC DD12 AD2 AB2.(1)求证： DB平面 B1BCC1；(2)设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使得 D1E平面 A1BD，并说明理由解：(1)证明：因为 AB DC， AD DC，所以 AB AD，在 Rt ABD 中， AB AD1，所以 BD ，易求 BC ，2 2因为 CD2，9所以 BD BC.又 BD BB1， B1B BC B，所以 BD平面 B1BCC1.(2)DC 的中点为 E 点如图，连接 BE，因为 DE AB， DE AB，所以四边形 ABED 是平行四边形所以 AD BE
17、.又 AD A1D1，所以 BE A1D1，所以四边形 A1D1EB 是平行四边形，所以 D1E A1B.因为 D1E平面 A1BD，所以 D1E平面 A1BD.线线、线面、面面平行间的转化线线平行 线面平行 面面性质定理判定定理平行 性 质 定 理 判 定 定 理 判 定 定 理 性 质 定 理其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”易错防范(1)直线与
18、平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件 1在空间内，下列命题正确的是( )A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析：选 D.对于 A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故 A 错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故 B 错误；对于 C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故 C 错误；而 D 为直线和平面垂直的性质定理，正确102平面 平面 的一个充分条件是( )A存在一条直线 a， a ， a B存在一条直线 a， a ， a
19、C存在两条平行直线 a， b， a ， b ， a ， b D存在两条异面直线 a， b， a ， b ， a ， b 解析：选 D.若 l， a l， a ， a ， a ， a ，故排除 A.若 l， a ， a l，则 a ，故排除 B.若 l， a ， a l， b ， b l，则 a ， b ，故排除 C.3已知 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若 ， ，则 B若 m n， m ， n ，则 C若 m n， m ， n ，则 D若 m n， m ，则 n 解析：选 C.对于 A，若 ， ，则 或 与 相交；对于 B，若m n， m
20、， n ，则 或 与 相交；易知 C 正确；对于 D，若 m n， m ，则 n 或 n 在平面 内故选 C.4.如图所示，在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为边 AB， AD 上的点，且 AE EB AF FD14，又 H， G 分别为 BC， CD 的中点，则( )A BD平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形B EF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形C HG平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形D EH平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形解析：选 B.由 AE EB AF FD14 知 EF 綊 BD，又 EF平面 BCD，所以 EF平面 BCD.15又
21、H， G 分别为 BC， CD 的中点，所以 HG 綊 BD，所以 EF HG 且 EF HG.所以四边形 EFGH12是梯形5.在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形，SA SB SC12，平面 DEFH 分别与 AB、 BC、 SC、 SA 交于D、 E、 F、 H，且它们分别是 AB、 BC、 SC、 SA 的中点，那么四边形DEFH 的面积为( )A18 B18 C36 D363 311解析：选 A.因为 D、 E、 F、 H 分别是 AB、 BC、 SC、 SA 的中点，所以DE AC， FH AC， DH SB， EF SB，则四边形 DEFH 是平行四边形，且
22、 HD SB6， DE AC3.如图，取 AC 的中点 O，连接 OB、 SO，12 12因为 SA SC12， AB BC6，所以 AC SO， AC OB，又SO OB O，所以 AO平面 SOB，所以 AO SB，则 HD DE，即四边形 DEFH 是矩形，所以四边形 DEFH 的面积 S6318，故选 A.6设 m， l 表示直线， 表示平面，若 m ，则“ l ”是“ l m”的_条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”)解析： m ， l 不能推出 l m； m ， l m 也不能推出 l ，所以是既不充分也不必要条件答案：既不充分也不必要7.如图，正方体 ABCDA1
23、B1C1D1中， AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在CD 上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_解析：因为 EF平面 AB1C， EF平面 ABCD，平面 ABCD平面AB1C AC，所以 EF AC，所以 F 为 DC 的中点故 EF AC .12 2答案： 28在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 是 A1B1的中点，过点 A1作与截面 PBC1平行的截面，所得截面的面积是_解析：如图，取 AB， C1D1的中点 E， F，连接 A1E， A1F， EF，则平面A1EF平面 BPC1.在 A1EF 中，A1F A1E ， EF2 ，5 2S A1
24、EF 2 ，12 2 （ 5） 2 （ 2） 2 6从而所得截面面积为 2S A1EF2 .6答案：2 69.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， S 是 B1D1的中点， E、 F、 G 分别是BC、 DC、 SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明：(1)如图，连接 SB，12因为 E、 G 分别是 BC、 SC 的中点，所以 EG SB.又因为 SB平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，所以直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，因为 F、 G 分别是 DC、 SC 的中点，所以 FG SD.又因为 SD平面
25、 BDD1B1， FG平面 BDD1B1，所以 FG平面 BDD1B1，又 EG平面 EFG，FG平面 EFG， EG FG G，所以平面 EFG平面 BDD1B1.10(2018云南省 11 校跨区调研)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， PA2， ABC90，AB ， BC1， AD2 ， ACD60， E 为 CD 的中点3 3(1)求证： BC平面 PAE；(2)求点 A 到平面 PCD 的距离解：(1)证明：因为 AB ， BC1， ABC90，3所以 AC2， BCA60.在 ACD 中，因为 AD2 ， AC2， ACD60，3所以 AD2 AC2 CD22
26、 ACCDcos ACD，所以 CD4，所以 AC2 AD2 CD2，所以 ACD 是直角三角形，又 E 为 CD 中点，所以 AE CD CE，12因为 ACD60，所以 ACE 为等边三角形，所以 CAE60 BCA，所以 BC AE，又 AE平面 PAE， BC平面 PAE，所以 BC平面 PAE.(2)设点 A 到平面 PCD 的距离为 d，根据题意可得，PC2 ， PD CD4，213所以 S PCD2 ，7因为 VPACD VAPCD，所以 S ACDPA S PCDd，13 13所以 22 2 2 d，13 12 3 13 7所以 d ，2217所以点 A 到平面 PCD 的距离
27、为 .22171如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；棱 A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时， BEBF 是定值其中正确的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 C.由题图，显然是正确的，是错的；对于因为 A1D1 BC， BC FG，所以 A1D1 FG 且 A1D1平面 EFGH，所以 A1D1平面 EFGH(水面)所以是正确的；因为水是定量的(定体积 V)所以 S BEFBC V，即 BEBF
28、BC V.12所以 BEBF (定值)，即是正确的，故选 C.2VBC142(2018安徽安庆模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N、 Q 分别是棱 D1C1、 A1D1、 BC 的中点，点 P 在 BD1上且 BP BD1.则以下四个说法：23 MN平面 APC； C1Q平面 APC； A、 P、 M 三点共线；平面 MNQ平面 APC.其中说法正确的是_解析：连接 MN， AC，则 MN AC，连接 AM、 CN，易得 AM、 CN 交于点 P，即 MN面 APC，所以 MN面 APC 是错误的；由知 M、 N 在平面 APC 上，由题易知 AN C1Q，所以 C1Q面 A
29、PC 是正确的；由知 A， P， M 三点共线是正确的；由知 MN面 APC，又 MN面 MNQ，所以面 MNQ面 APC 是错误的答案：3(2018福建泉州质检)在如图所示的多面体中， DE平面ABCD， AF DE， AD BC， AB CD， ABC60， BC2 AD4 DE4.(1)在 AC 上求作点 P，使 PE平面 ABF，请写出作法并说明理由；(2)求三棱锥 ACDE 的高解：(1)取 BC 的中点 G，连接 DG，交 AC 于点 P，连接 EG， EP.此时 P为所求作的点(如图所示)下面给出证明：因为 BC2 AD， G 为 BC 的中点，所以 BG AD.又因为 BC A
30、D，所以四边形 BGDA 是平行四边形，故 DG AB，即 DP AB.又 AB平面 ABF， DP平面 ABF，所以 DP平面 ABF.因为 AF DE， AF平面 ABF， DE平面 ABF，所以 DE平面 ABF.又因为 DP平面 PDE， DE平面 PDE， PD DE D，所以平面 PDE平面 ABF，15因为 PE平面 PDE，所以 PE平面 ABF.(2)在等腰梯形 ABCD 中，因为 ABC60， BC2 AD4，所以可求得梯形的高为 ，从而 ACD 的面积为 2 .312 3 3因为 DE平面 ABCD，所以 DE 是三棱锥 EACD 的高设三棱锥 ACDE 的高为 h.由
31、VACDE VEACD，可得 S CDEh S ACDDE，即 21h 1，解得 h .13 13 12 3 3故三棱锥 ACDE 的高为 .34如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形， M， N， G 分别是 AB， AD， EF的中点求证：(1)BE平面 DMF；(2)平面 BDE平面 MNG.证明：(1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O，连接 MO，则 MO 为 ABE 的中位线，所以 BE MO.因为 BE平面 DMF， MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N， G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD， EF 的中点，所以 DE GN.因为 DE平面 MNG， GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG.因为 M 为 AB 的中点，所以 MN 为 ABD 的中位线，所以 BD MN.因为 BD平面 MNG， MN平面 MNG，所以 BD平面 MNG.因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG.
