1、12017-2018 学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题 ，则 .故选 B2.若直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直，则 l 的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线 x+y+1=0 的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出直线 l 的倾斜角 的值3【详解】直线 x+y+1=0 的斜率为 ，3 - 3因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直，3所以直线 l 的斜率为 ，33设 l 的倾斜角为为 ，则 tan = ，33所以
2、=30故选：A【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题3.圆 O1：（ x-2） 2+（ y+3） 2=4 与圆 O2：（ x+1） 2+（ y-1） 2=9 的公切线有（ ）A. 4 条 B. 3 条 C. 2 条 D. 1 条【答案】B【解析】【分析】先求出两圆的圆心距为 5，再分别求出两圆的半径，可知两圆外切，即可求出公切线的条数。2【详解】两圆 O1：（ x-2） 2+（ y+3） 2=4 与圆 O2：（ x+1） 2+（ y-1） 2=9 的圆心距为：(2+1)2+(-3-1)2=5.两个圆的半径和为：5，两个圆外切公切线有 3 条故选：B【点睛】本题
3、考查圆的公切线的条数，判断两个圆的位置关系是解题的关键。4.在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 2，-3 的直线方程为（ ）A. B. C. D. x2+y3=1 x2-y3=1 y3-x2=1 x2+y3=-1【答案】B【解析】在 轴、 轴上的截距分别是 2、 的直线方程为x y -3x2+y-3=1即x2-y3=1故选：B5.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）(0,+)A. B. C. D. y= x y=x3 y=1x2 y=ln|x|【答案】D【解析】对 A:定义域为 ，函数为非奇非偶函数，排除 A；0，+）对 B: 为奇函数, 排除 B；y=x3对 C: 在 上单调递
4、减, 排除 C；故选 Dy=1-x2 (0,+)6.函数 的零点所在的一个区间是（ ）f(x)=(12)xx+2A. B. C. D. (1,0) (0,1) (1,2) (2,3)【答案】D【解析】试题分析：因为 ， ， ， ， ，故有3，所以函数 的零点所在的一个区间是 故选 Df(x) (2,3)考点：零点存在性定理（函数零点的判定） 7.若两平行直线 与 之间的距离是 ，则l1:x2y+m=0(m0) l2:2x+ny6=0 5 m+n=A. 0 B. 1 C. D. 2 1【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得 m,n 的值，然后求解 m+n 的值即可.【详解】两直线平行则： ，解
5、得： ，12=2n n=4则两直线方程为： ， ，x2y+m=0 x2y3=0由平行线之间距离公式有： ，|m+3|1+4= 5解得： 或 (不合题意，舍去)m=2 m=8据此可知： .m+n=2本题选择 C 选项.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论8.若 ， ， ，则 a， b， c 大小关系为（ ）a=(12)0.3b=2-0.2c=log122A. B. C. D. abc acb cba
6、 bac【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性可知 ，又由对数的性质可知 ，从而得到答案。02 则 abc 的取值范围是（ ）6A. B. C. D. 2,3 (2,3) 2,3) (2,3【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的定义作出函数 f（ x）的图象，然后可令 f（ a）= f（ b）= f（ c）= k 则可得a， b， c 即为函数 y=f（ x）与 y=k 的交点的横坐标，根据图象可得出 a， b， c 的范围同时a， b 还满足-log 2a=log2b，即可得答案【详解】根据已知画出函数 f（ x）的图象（如下图）：不妨设 a b c， f（ a）= f（ b）=
7、f（ c） ，-log 2a=log2b=-c2+4c-3，log 2（ ab）=0，解得 ab=1，2 c3，2 abc3故选：B【点睛】本题考查了利用分段函数的图象结合数形结合的思想求方程根的积得取值范围，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.函数 的定义域为 y= x+1+12x【答案】【解析】试题分析：要使函数 的解析式有意义，自变量 须满足： ，解得y= x+1+12x x x+102x0 ，且 ，故函数 的定义域是 ，故答案为：x1 x2 y= x+1+12x x|x1，且 x27.考点：函数的定义域及其求法.
8、【思路点晴】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围，高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题求解函数定义域的常规方法：分母不等于零；根式（开偶次方）被开方式 ；对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于 ；0 1指数为零时，底数不为零实际问题中函数的定义域.14.两个球的体积之比为 8 ：27，则这两个球的表面积之比为_【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为 ，由 可得 ，所以 即两球的表面积之比r,R43r343R3=827 rR=23 4r24R2=49为 49考点：球的表面积，体积公式15.设函数 f（ x）= ， （ aR） ，若 f（ f（4） ）=1，则 a
9、=_a2x,x2log2x,x2 【答案】14【解析】【分析】利用分段函数，由里及外，逐步求解即可【详解】函数 f（ x）= ， （ aR） ，若 f（ f（4） ）=1，a2x,x2log2x,x2 可得 f（4）=log 24=2，f（ f（4） ）=1，即 f（2）=1，可得 a22=1，解得 a =14故答案为： 14【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力16.若圆锥的侧面展开图是半径为 、圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为_565【答案】 12.【解析】8圆锥侧面展开图的半径为 5，圆锥的母线长为 5设圆锥的底面半径为 r，则 ，解得 r=3，2r=2165180
10、圆锥的高为 4圆锥的体积 .V=13324=12点睛：旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知全集 U=R，集合 A=x|1 x3， B=x|2 x4（1）求图中阴影部分表示的集合 C；（2）若非空集合 D=x|4-a x a，且 D（ A B） ，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） x|1 x2（2） a|2 a3【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得 C=A（ UB） ，进而由补集的定义求出 UB，再由交集的定义可得A（ UB） ，即可得出答案；（2）根据题意，先求出集合 A B，结合集合子集的定义可得，解出的范
11、围，即可得到答案4-a a4-a1a4 【详解】 （1）根据题意，分析可得： C=A（ UB） ，B=x|2 x4，则 UB=x|x2 或 x4，而 A=x|1 x3，则 C=A（ UB）= x|1 x2；（2）集合 A=x|1 x3， B=x|2 x4则 A B=x|1 x4，若非空集合 D=x|4-a x a，且 D（ A B） ，则有 ，解可得 2 a3，4-a a4-a1a4 即实数 a 的取值范围是 a|2 a39【点睛】本题考查集合间包含关系的运用，涉及 venn 图表示集合的关系， （2）中注意 D 为非空集合18.已知直线 l 经过直线 3x+4y-2=0 与直线 2x+y+2
12、=0 的交点 P（）求过点 O、 P 的直线的倾斜角；（）若直线 l 与经过点 A（8，-6） ， B（2，2）的直线平行，求直线 l 的方程【答案】 （I） （II）4 x+3y+2=034【解析】【分析】（I）联立 ，解得 P 坐标设过点 O、 P 的直线的倾斜角为3x+4y-2=02x+y+2=0 ， 0，） 则 tan =kOP（II） kl=kAB，利用点斜式即可得出直线 l 的方程【详解】 （I）联立 ，解得 ，可得 P（ -2，2） 3x+4y-2=02x+y+2=0 x=-2y=2 设过点 O、 P 的直线的倾斜角为 ， 0，） kOP= =-1=tan 2-0-2-0解得 =
13、 34（II） kl=kAB= =- ，-6-28-2 43直线 l 的方程为： y-2= （ x+2） ，化为：4 x+3y+2=0-43【点睛】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系、直线交点、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19.如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中， M， N 分别为 CC1， A1B1的中点， CA=CB1， BA=BB1（）求证：直线 MN平面 CAB1；（）求证：平面 A1BC平面 CAB1【答案】 （I）详见解析（II）详见解析10【解析】【分析】（I）取 AA1中点 D，连结 MD， ND，则 MD AC， ND AB1，从而平面 MND平面 CA
14、B1，由此能证明直线 MN平面 CAB1（）连结 CO，推导出 CO AB1， A1B AB1，从而 AB1平面 A1BC，由此能证明平面 A1BC平面 CAB1【详解】证明：（I）取 AA1中点 D，连结 MD， ND，三棱柱 ABC-A1B1C1中， M， N 分别为 CC1， A1B1的中点， CA=CB1， BA=BB1 MD AC， ND AB1， MD ND=D， AC AB1=A，平面 MND平面 CAB1， MN平面 MND，直线 MN平面 CAB1（II）连结 CO， M， N 分别为 CC1， A1B1的中点， CA=CB1， BA=BB1 CO AB1， A1B AB1，
15、 CO A1B=O， AB1平面 A1BC， AB1平面 CAB1，平面 A1BC平面 CAB1【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题20.已知圆 M 过 C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心 M 在 x+y-2=0 上（1）求圆 M 的方程；（2）设点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA,PB 是圆 M 的两条切线，A,B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值【答案】 （1） （x1） 2+（y1） 2=4 （2）2 【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆 M 过两点 C（1，-1） 、D（-1，1
16、）且圆心 M 在11直线 x+y-2=0 上，建立方程组，即可求圆 M 的方程；（2）四边形 PAMB 的面积为 S2 ，因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即|PM|24可，即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论试题解析：(1) 设圆 M 的方程为(xa) 2(yb) 2r 2(r0)，根据题意得 (1+(=r2(+(1=r2a+b2=0 解得 ab1，r2.故所求圆 M 的方程为(x1) 2(y1) 24.(2) 由题知，四边形 PAMB的面积为 SS PAM S PBM |AM|PA| |BM|PB|.又|AM|B
17、M|2，|PA|PB|，所以 S2|PA|.而|PA| .|PM|2|AM|2= |PM|24即 S2 .|PM|24因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x4y80 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM| min ，|31+41+8|32+42 =3所以四边形 PAMB面积的最小值为 S2 2 2 .|PM|24 32421.已知函数 （ x0） f(x)=|x|+mx-2（1）当 m=2 时，判断 在（ -，0）的单调性，并用定义证明；f(x)（2）讨论 零点的个数f(x)【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先判断函数是单调递减的
18、，然后根据函数单调性的定义证明即可；（2）由 f（ x）=012可得 x|x|-2x+m=0（ x0） ，则 m=-x|x|+2x（ x0） ，数形结合并讨论 m 的范围，即可判断函数的零点个数【详解】 （1）当 m=2 时，且 0 时， 是单调递减的x f(x)=-x+2x-2证明：设 x1 x20，则 = =f(x1)-f(x2)=-x1+2x1-2-(-x2+2x2-2) (x2-x1)+(2x1-2x2)= ，(x2-x1)+2(x2-x1)x1x2 (x2-x1)(1+ 2x1x2)又 x1 x20，所以 x2-x10， x1x20，所以 ，(x2-x1)(1+2x1x2) 0所以
19、f（ x1）- f（ x2）0，即 f（ x1） f（ x2） ，故当 m=2 时， 在（-，0）上单调递减 f(x)=-x+2x-2（2）由 f（ x）=0 可得 x|x|-2x+m=0（ x0） ，则 m=-x|x|+2x（ x0） ，令 g(x)=2x-x|x|=-x2+2x,x0x2+2x,x0 结合函数 的图象知，g(x)当 m1 或 m-1 时， f（ x）有 1 个零点当 m=1 或 m=0 或 m=-1 时， f（ x）有 2 个零点；当 0 m1 或-1 m0 时， f（ x）有 3 个零点 【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，考查函数的零点问题以及分类讨论思想，是一道中档
20、题22. 某种新产品投放市场的 100 天中，前 40 天价格呈直线上升，而后 60 天其价格呈直线下降，现统计出其中 4 天的价格如下表：时间 第 4 天 第 32 天 第 60 天 第 90 天13价格（千元） 23 30 22 7（1）写出价格 关于时间 的函数关系式；（ 表示投放市场的第 天） ；f(x) x x x(xN)（2）销售量 与时间 的函数关系： ，则该产品投放市g(x) x g(x)=13x+1093(1x100,xN)场第几天销售额最高？最高为多少千元？【答案】 （1） ；（2）第 天和第 天，最高销售额为f(x)= 14x+22,1x40,且 xN12x+52,41x
21、100,且 xN 10 11（千元）.808.5【解析】试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.试题解析：（1）由题意，设 f(x)=kx+b(1x40,且 xN)则 4k+b=2332k+b=30得 k=14,b=22f(x)=14x+22,(1x40,且 xN)同样设 f(x)=mx+n(41x100,且 xN)则 60m+n=2290m+n=7得 m=12,b=52f(x)=12x+52,(41x100,且 xN)f(x)= 14x+22,1x40,且 xN12x+52,41x100,且 xN (2)设该产品的日销售额为此时当14此时综上，销售额最高在第 10 天和第 11 天，最高销售额为 808.5（千元）考点：函数应用问题.【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.
