1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定,课标要求:1.理解线面垂直的定义和判定定理.2.能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.能在简单的几何体中计算线面角.,自主学习 新知建构自我整合,导入 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直.,【情境导学】,想一想 怎样折叠才能使AD与桌面垂直? (当AD是高时,即ADBD,ADCD时AD与桌面垂直) 导入(教学备用) 你能用3根木棒组成12个直角吗? 在同一个平面内,用3根木棒可
2、以拼成5个直角、6个直角、8个直角.如下图:,因此,平面内3根木棒最多拼成8个直角.在空间内会如何呢?,如果把2根木棒十字交叉地放在桌面上,另一根木棒的一端摆在前2根木棒的交叉处并使这根木棒与桌面垂直(如图(4),这时拼出的直角也是8个. 如果把摆在桌面上的两根木棒离开桌面,紧挨着与桌面垂直的木棒向上方平移(如图(5).那么,这时我们会发现,12个直角出现了.,想一想 (1)图(4)与图(5)中的竖直木棒与由两根横向与纵向木棒所确定的平面垂直吗? (2)如果两根横向与纵向木棒不互相垂直,该竖直木棒与它们确定的平面垂直吗?,答案:(1)垂直. (2)垂直.,1.直线与平面垂直的概念 如果直线l与
3、平面内的 都垂直,就说直线l与平面互相垂直,记作 ,直线l叫做平面的 ,平面叫做直线l的 ,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做 .,知识探究,任意一条直线,l,探究1:若直线a平面,直线b,则a与b互相垂直吗? 答案:垂直.,垂线,垂面,垂足,2.直线与平面垂直的判定定理,两条相交直线,ab=P,探究2:若直线ab,直线ac,且b,c,直线a平面吗? 答案:不一定垂直,当b与c相交时,a平面.,3.直线与平面所成的角 (1)如图,一条直线PA和一个平面相交,但不和这个平面 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 . 的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫
4、做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角的范围是090.,垂直,斜足,斜足以外,斜足A,锐角,直角,0,自我检测,1.(线面垂直的定义)如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是( ) (A) (B) (C) (D)交 2.(线面垂直的性质)已知直线a平面,直线b平面,则a与b的关系为( ) (A)ab (B)ab (C)a,b相
5、交不垂直 (D)a,b异面不垂直,A,B,3.(线面垂直的判定)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( ) (A)平面OAB (B)平面OAC (C)平面OBC (D)平面ABC 4.(直线与平面所成的角)若直线a和直线b与平面所成的角相等,则直线a与直线b的位置关系是( ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)不确定,C,D,5.(直线与平面所成的角)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为 .,答案:,题型一,线面垂直的概念与定理的理解,【例1】 下列说法中正确的个数是( ) 若直线l与平面内一条直线垂直,则l; 若直线l与平面内两条
6、直线垂直,则l; 若直线l与平面内两条相交直线垂直,则l; 若直线l与平面内任意一条直线垂直,则l; 若直线l与平面内无数条直线垂直,则l. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,课堂探究 典例剖析举一反三,解析:由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是,故选B.,误区警示,线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.,即时训练1-1:如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是 .,解析:三角形两边必相交,圆的两条直径必相交,梯形的
7、两边有可能是平行的一组对边,正六边形的两边也可能是一组平行对边.故由线面垂直的判定定理知,能保证该直线与平面垂直的是. 答案:,【备用例1】 下列命题中,正确命题的序号是 . 如果直线l与平面内的无数条直线垂直,那么l;如果直线l与平面内的两条直线垂直,那么l;若l不垂直于,则在内没有与l垂直的直线;过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;若a,b,则ab;若ab,a,则b.,解析:根据线面垂直的定义,当直线l与平面内的任意一条直线垂直时,l,如果内的无数条直线互相平行,l与不一定垂直,故不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面内的两条直线不相交时,l与不一定垂直,故不正确;当l与不
8、垂直时,l可能与内的无数条互相平行的直线垂直,故不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故正确;,显然正确. 答案:,题型二,直线与平面垂直的判定,【思考】 1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗?,提示:当这两条直线平行时,直线可与平面相交但不一定垂直.,2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?,提示:垂直.,【例2】 (12分)在三棱锥P-ABC中,H为ABC的垂心,APBC,PCAB,求证: PH平面ABC.,规范解答:如图,连接AH,因为H为ABC的垂心, 所以AHBC,2分 又APBC,AHAP=A, 所以BC平
9、面AHP,4分 又PH平面AHP, 所以PHBC.6分 同理可证PHAB,8分 又ABBC=B,所以PH平面ABC.12分,变式探究:在三棱锥P-ABC中,H为ABC的垂心,且PH平面ABC,求证: ABPC,BCAP.,证明:如图,连接AH,因为H为ABC的垂心,所以AHBC,又PH平面ABC, 所以PHBC,又PHAH=H, 所以BC平面PAH, 所以BCAP, 同理可证:ABPC.,利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直.,方法技巧,即时训练2-1:如图,四棱锥P-ABCD中,O是底面正方形ABCD 的中心,侧棱PD底面AB
10、CD,PD=DC,E是PC的中点.,解:(1)连接AC,因为点O是底面正方形ABCD的中心,所以点O是AC的中点,又因为E是PC的中点,所以在PAC中,EO是中位线,所以PAEO. 因为EO平面PAD,PA平面PAD,所以EO平面PAD.,(2)证明:DE平面PBC.,解:(2)因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC, 因为底面ABCD是正方形,有BCDC, 所以BC平面PDC. 而DE平面PDC,所以BCDE. 因为PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形, 而DE是斜边PC的中线, 所以DEPC. 又BC,PC平面PBC,且BCPC=C, 所以DE平面PBC.,【备用例2】 如
11、图,RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD平面ABC;,证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE, 在RtABC中,D,E分别为AC,AB的中点, 所以DEBC,且DEAB. 在SAB中,因为SA=SB,所以SEAB.又SEDE=E,所以AB平面SDE. 因为SD平面SDE,所以ABSD. 在SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SDAC. 因为SDAC,SDAB,ACAB=A,所以SD平面ABC.,(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.,证明:(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点, 所以BDAC.由(1)可知,SD平面A
12、BC. 而BD平面ABC,所以SDBD. 因为SDBD,BDAC,SDAC=D, 所以BD平面SAC.,题型三,直线与平面所成的角,(1)求证:EF平面A1B1BA;,(1)证明:如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.,(2)求证:直线AE平面BCB1;,(2)证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1 AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1.,(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.,求平面的斜线与
13、平面所成的角的一般步骤: (1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.,方法技巧,即时训练3-1:已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为 .,答案:,【备用例3】 (2015浙江卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90, AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1BC;,(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因为AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B, 从而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1DAE. 又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.,(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.,谢谢观赏！,
