1、12.3.2 平面与平面垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法 题号二面角的概念及求解 3,6,8,9,10面面垂直的定义及判定定理的理解 1面面垂直的判定 4,5综合问题 2,7,11,12基础巩固1.下列说法中,正确的是( B )(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有 B 正确.2.(2018江西三市联考)设 a,
2、b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则( C )(A)若 a,b,则 ab (B)若 a,a,则 (C)若 ab,a,则 b (D)若 a,则 a解析:选项 A.若 a,b,则 ab,或 a,b 异面或 a,b 相交,A 错;选项 B.若 a,a,则,或 =b,B 错;选项 C.若 ab,a,则 b,C 正确;选项 D.若 a,则 a 或 a 或 a,D 错.故选 C.3.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于 A,B)且 PA=AC,则二面角 P-BC-A 的大小为( C )(A)60 (B)30(C)45 (D)15解析:易得 BC平面 PAC,所以
3、PCA 是二面角 P-BC-A 的平面角,在 RtPAC 中,PA=AC,所以PCA=45.故选 C.4.如图所示,已知 PA矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )2(A)2 对 (B)3 对(C)4 对 (D)5 对解析:由 PA矩形 ABCD 知,平面 PAD平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD;由 AB平面 PAD 知,平面 PAB平面 PAD;由 BC平面 PAB 知,平面PBC平面 PAB;由 DC平面 PAD 知,平面 PDC平面 PAD.故题图中互相垂直的平面有 5 对.选 D.5.如图,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD
4、=90,将ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD平面 BCD,构成几何体 A-BCD,则在几何体 A-BCD 中,下列结论正确的是( D )(A)平面 ABD平面 ABC(B)平面 ADC平面 BDC(C)平面 ABC平面 BDC(D)平面 ADC平面 ABC解析:由已知得 BAAD,CDBD,又平面 ABD平面 BCD,所以 CD平面 ABD,从而 CDAB,故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 ADC.选 D.6.如图所示,在ABC 中,ADBC,ABD 的面积是ACD 的面积的 2 倍.沿 AD 将ABC 翻折,使翻折后 BC平面 ACD,此时二面角 B-AD
5、-C 的大小为( C )(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在 RtBCD 中,BDC=60,而 ADBD,CDAD,故BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角,其大小为 60.故选 C.7.如图,ABC 是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD平面 ACD,则折叠后 BC= . 解析:因为在原ABC 中,ADBC,所以折叠后有 ADBD,ADCD,所以BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角.因为平面 ABD平面 ACD,所以BDC=90.在 RtBCD 中,BDC=90,BD=
6、CD= ,3所以 BC= =1.( 22) 2+( 22) 2答案:18.如图所示,=CD,P 为二面角内部一点.PA,PB,垂足分别为 A,B.(1)证明:ABCD;(2)若PAB 为等边三角形,求二面角 -CD- 的大小.(1)证明:因为 ,=, 所以 CD平面 PAB,所以 ABCD.(2)解:如图所示,设平面 PABCD=O,则由(1)可知,OBCD,OACD,从而BOA 是二面角 -CD- 的平面角.因为 PAOA,PBOB,所以AOB+APB=180.因为PAB 为等边三角形,所以APB=60.故二面角 -CD- 的平面角为 120.能力提升9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1
7、D1中,O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1的中点,则下列结论中错误的是( D )(A)D1O平面 A1BC1(B)MO平面 A1BC1(C)异面直线 BC1与 AC 所成的角等于 60(D)二面角 M-AC-B 等于 90解:对于选项 A,连接 B1D1,交 A1C1于 E,连接 BO,则四边形 D1OBE 为平行四边形,所以 D1OBE,因为 D1O平面 A1BC1,BE平面 A1BC1,所以 D1O平面 A1BC1,故正确;4对于选项 B,连接 B1D,因为 O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1的中点,所以 MOB 1D,易证B1D平面 A1BC1,所以 MO平面 A
8、1BC1,故正确;对于选项 C,因为 ACA 1C1,所以A 1C1B 为异面直线 BC1与 AC 所成的角,因为A 1C1B 为等边三角形,所以A 1C1B=60,故正确;对于选项 D,因为 BOAC,MOAC,所以 MOB 为二面角 M-AC-B 的平面角,显然不等于 90,故不正确.综上知,选 D.10.正方体 ABCD-A1B1C1D1中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1-BD-A 的正切值等于 .解析:设 AC 与 BD 相交于 O 点,因为 ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以 AOBD,又 AA1平面 ABCD,所以 AA1BD,又 AOAA 1=A,所以
9、BD平面 A1AO,所以 BDA 1O,所以A 1OA 为二面角 A1-BD-A 的平面角,设正方体的棱长为 a,在直角A 1AO 中,AA 1=a,AO= a,所以 tanA 1OA= = .2答案:11.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 2,ACBD=O.将三角形 ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥A-BCD.(1)求证:平面 AOC平面 BCD,(2)若三棱锥 A-BCD 的体积为 ,求 AC 的长.(1)证明:折叠前,因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BDAO,BDCO.5在折叠后的ABD 和BCD 中,仍有 BDAO,BDCO.因为 AOCO=O,AO平面 AOC,CO平
10、面 AOC,所以 BD平面 AOC.因为 BD平面 BCD,所以平面 AOC平面 BCD.(2)解:设三棱锥 A-BCD 的高为 h,由于三棱锥 A-BCD 的体积为 ,所以 SBCD h= .13因为 SBCD = BCCD= 22=2,12 12所以 h= AO= .2以下分两种情形求 AC 的长.当AOC 为钝角时,如图,过点 A 作 CO 的垂线 AH 交 CO 的延长线于点 H,由(1)知 BD平面 AOC,所以 BDAH.又 COAH,且 COBD=O,所以 AH平面 BCD.所以 AH 为三棱锥 A-BCD 的高,即 AH= .在 RtAOH 中,因为 AO= ,2所以 OH=
11、= = .22在 RtACH 中,因为 CO= ,2所以 CH=CO+OH= + = ,2322所以 AC= = = .2+2( 62) 2+(322) 2 6当AOC 为锐角时,如图,过点 A 作 CO 的垂线 AN 交 CO 于点 N,由(1)知 BD平面 AOC,所以 BDAN.又 COAN,且 COBD=O,CO平面 BCD,BD平面 BCD,所以 AN平面 BCD.6所以 AN 为三棱锥 A-BCD 的高,即 AN= .在 RtAON 中,因为 AO= ,2所以 ON= = = .22在 RtACN 中,因为 CO= ,2所以 CN=CO-ON= - = ,2所以 AC= = = .
12、2+2( 62) 2+( 22) 2 2综上可知,AC 的长为 或 .2探究创新12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=BB 1,AC1平面 A1BD,D 为 AC 的中点.(1)求证:B 1C平面 A1BD;(2)求证:B 1C1平面 ABB1A1;(3)设 E 是 CC1上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD平面 BDE,并说明理由.(1)证明:连接 AB1,与 A1B 相交于 M,则 M 为 A1B 的中点,连接 MD.又 D 为 AC 的中点,所以 B1CMD.又 B1C平面 A1BD,MD平面 A1BD,所以 B1C平面 A1BD.(2)证明:因为 AB=B1B,所以四边形 ABB1A1为正方形.所以 A1BAB 1.7又因为 AC1平面 A1BD,所以 AC1A 1B.所以 A1B平面 AB1C1,所以 A1BB 1C1.又在棱柱 ABC-A1B1C1中 BB1B 1C1,所以 B1C1平面 ABB1A.(3)解:当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1BD平面 BDE,因为 D,E 分别为 AC,C1C 的中点,所以 DEAC 1.因为 AC1平面 A1BD,所以 DE平面 A1BD.又 DE平面 BDE,所以平面 A1BD平面 BDE.
