1、1三 立体几何(B)1.(2018丰台区一模)如图所示,在四棱锥 P ABCD中,平面 PAB平面ABCD,ADBC,AD=2BC,DAB=ABP=90.(1)求证:AD平面 PAB;(2)求证:ABPC;(3)若点 E在棱 PD上,且 CE平面 PAB,求 的值.2.(2018河南模拟)已知空间几何体 ABCDE中,BCD 与CDE 均为边长为 2的等边三角形,ABC 为腰长为 3的等腰三角形,平面 CDE平面 BCD,平面 ABC平面 BCD.(1)试在平面 BCD内作一条直线,使得直线上任意一点 F与 E的连线 EF均与平面 ABC平行,并给出详细证明;(2)求三棱锥 E ABC的体积.
2、3.(2018朝阳三模)如图,在PBE 中,ABPE,D 是 AE的中点,C 是线段 BE上的一点,且 AC=,AB=AP= AE=2,将PBA 沿 AB折起使得二面角 P AB E是直二面角.5(1)求证:CD平面 PAB;(2)求三棱锥 E PAC的体积.4.(2018湖北模拟)如图,在 RtABC 中,AB=BC=3,点 E,F分别在线段 AB,AC上,且 EFBC,将AEF 沿 EF折起到PEF 的位置,使得二面角 P EF B的大小为 60.2(1)求证:EFPB;(2)当点 E为线段 AB的靠近 B点的三等分点时,求四棱锥 P EBCF的侧面积.1.(1)证明:因为DAB=90,所
3、以 ADAB.因为平面 PAB平面 ABCD.且平面 PAB平面 ABCD=AB,所以 AD平面 PAB.(2)证明:由已知得 ADAB,因为 ADBC,所以 BCAB.又因为ABP=90,所以 PBAB.因为 PBBC=B,所以 AB平面 PBC,所以 ABPC.(3)解:过 E作 EFAD 交 PA于 F,连接 BF.因为 ADBC,所以 EFBC.所以 E,F,B,C四点共面,又因为 CE平面 PAB,且 CE平面 BCEF,平面 BCEF平面 PAB=BF,所以 CEBF,所以四边形 BCEF为平行四边形,所以 EF=BC.在PAD 中,因为 EFAD,所以 = = = .即 = .1
4、22.解:(1)因为平面 CDE平面 BCD,平面 ABC平面 BCD.所以过 E作 EQ平面 BCD,交 CD于 Q,过 A作 AP平面 BCD,交 BC 于 P,所以 EQAP,过 Q作 QOBC,交 BD于 O,连接 EO,则直线 OQ就是在平面 BCD内所求的直线,使得直线 OQ上任意一点 F与 E的连线 EF均与平面 ABC平行.证明如下:因为 EQAP,QOBC,EQQO=Q,APBC=P,EQ,QO平面 EQO,AP,BC平面 ABC,所以平面 EQO平面 ABC,所以直线 OQ上任意一点 F与 E的连线 EF均与平面 ABC平行.(2)因为BCD 与CDE 均为边长为 2的等边
5、三角形,ABC 为腰长为 3的等腰三角形,3所以 AP= =2 ,3212所以 SABC = 22 =2 ,12 2 2由(1)知平面 EQO平面 ABC,所以 E到平面 ABC的距离为 OQ中点到平面 ABC的距离,所以,点 E到平面 ABC的距离 d= DP= = ,12 122212所以三棱锥 E ABC的体积 = dSABC = 2 = .13 13 23.(1)证明:因为 AE=2,所以 AE=4,12又 AB=2,ABAE,所以 BE= = =2 ,2+2 22+42又因为 AC= = BE,512所以 AC是 RtABE 的斜边 BE上的中线,所以 C是 BE的中点,又因为 D是
6、 AE的中点,所以 CDAB,又因为 CD平面 PAB,AB平面 PAB,所以 CD平面 PAB.(2)解:由(1)可证 CD平面 PAE,CD= AB=1,12因为二面角 P AB E是直二面角,平面 PAB平面 ABE=AB,PA平面 PAB,PAAB,所以 PA平面 ABE,又因为 AP=2,所以 = = AECDAP= 412= .13 12 13 434.(1)证明:因为 AB=BC=3,所以 BCAB,又 EFBC,所以 EFAB,从而 EFPE,EFBE,又 PEBE=E,所以 EF平面 PBE,又 PB平面 PBE,所以 EFPB.(2)解:因为 EFPE,EFBE,所以PEB
7、 为二面角 P EF B的平面角,即PEB=60,又 E为 AB的靠近 B点的三等分点,AB=3,4所以 PE=2,BE=1,在PBE 中,由余弦定理得PB= = ,4+122112由于 PB2+EB2=PE2,所以 PBEB,PB,BC,BE两两垂直,又 EFPE,EFBE,所以PBE,PBC,PEF 均为直角三角形,又 = = ,23所以 EF=2,所以 SPBC = BCPB= ,SPBE = PBBE= ,SPEF = EFPE=2,12 332 12 12在四边形 BCFE中,过点 F作 BC的垂线,垂足为 H,则 FC2=FH2+HC2=12+12=2,所以 FC= .2又 PF= =2 ,PC= =2 ,2+2 2 2+2 3所以 cos PFC= =- ,14故为 sin PFC= ,154所以 SPFC = PFFCsin PFC= ,12 152所以四棱锥的侧面积为 SPBC +SPBE +SPEF +SPFC =2+2 + .152
