1、1专题能力提升练 十 空间几何体的三视图、表面积与体积(30分钟 60 分)一、选择题(每小题 5分,共 40分)1.(2018泰安一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12 B.24 C.40 D.72【解析】选 C.根据三视图得到原图是一个组合体,上面是四棱锥,下面是长方体,故得到体积为 234+ 344=40.132.(2018太原二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.16 12【解析】选 D.三视图还原后是四棱锥,ACAD,PD平面 ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积 V= (11)1= .23.某几何体的三视
2、图如图所示,其中俯视图右侧曲线为半圆弧,则几何体的表面积为 ( )A.3+4 -2 B. 3+2 -22C. +2 -2 D. +2 +232【解析】选 A.由三视图还原出原几何体是一个半圆柱挖去一个三棱柱,S=12+2 +2 2=3-2+4 .(1212-1221)4.(2018唐山一模)一个几何体的三视图如图所示,则其体积为 ( )A.10+ B.2+2C.2+ D.2+4【解析】选 C.该组合体是一个长方体与四分之一的圆柱组合,体积 V=112+ 1 21=2+ .14 45.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC 为该球的直径,ABC 是边长为 4的等边3三角形,三棱锥 P
3、-ABC的体积为 ,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【解析】选 D.设点 D为ABC 外接圆圆心,则三棱锥的外接球球心 O满足 OD垂直平面 ABC,所以 = 2OD 42,所以 OD= ,所以 R= ,13S=4R 2= .【加固训练】(2018保定一模)如图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. +6 +2 B. +6 +43C.6 +4 D.5 +4【解析】选 C.几何体为三棱锥,如图,底面为顶角为 120的等腰三角形 BCD,侧棱 AC垂直底面,BC=CD=2,BD=2 ,AC=2 ,AB=AD=2 ,表面积为 2212+ 22 + 22sin 1
4、20+ 2 =4 +6 .12 12 12 (27)2-( 3)26.三棱锥 P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,且 PA= ,PB=1,PC= ,则该三棱锥的外4接球的体积是 ( )A. B. C. D.8 【解析】选 A.三棱锥 P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,求出长方体的对角线的长为 = ,所以球的直径是 ,半径为 ,球的体积为 V= = .43 ( 62)3 6【加固训练】1.(2018肇庆市二模)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. B. C.8 D.483 43【解析】选 B.该几何体为三棱锥,体
5、积为 V= 222= .1312 432.(2018佛山顺德区二模)一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的表面积是 ( )5A.24 B.8+4C.4+6 D.12【解析】选 B.该几何体为四棱柱,则 S=2(2+2 +2)=8+4 .7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长度为 ( )A. B.2 C.3 D.25【解析】选 C.在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M为 AD的中点,该几何体的直观图如图中三棱锥 D1-M B1C,故通过计算可得 D1C=D1B1=B1C=2 ,D1M=MC= ,MB1=3,故最长棱的长度为 3.8.(2018全国卷)某圆柱
6、的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N在侧视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M到 N的路径中,最短路径的长度为( )6A.2 B.2 C.3 D.217【解析】选 B.将三视图还原为圆柱,M,N 的位置如图 1所示,将侧面展开,最短路径为 M,N连线的距离,所以 MN= =2 .【加固训练】(2018榆林一模)九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为 1丈),那么该刍甍的
7、体积为 ( )A.4立方丈 B.5立方丈C.6立方丈 D.12立方丈【解析】选 B.由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和两个四棱锥;三棱柱的体积为 3,两个四棱锥的体积和为 2,则刍甍体积为 5.二、填空题(每小题 5分,共 20分)9.一个正三棱锥的所有棱长均为 ,则它的外接球的表面积为_. 2【解析】如图,构造正方体 ANDM-FBEC.7因为三棱锥 A-BCD的所有棱长都为 ,2所以正方体 ANDM-FBEC的棱长为 1,所以该正方体的外接球的直径为 ,即半径为 .3所以三棱锥 A-BCD的外接球的半径为 ,所以三棱锥 A-BCD的外接球的表面积为 S 球=4 =3.(32)2答案:310.
8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_. 【解析】由三视图可知,该几何体是一个组合体,左边上部是 球体,下部左是 圆柱,右边14 12是 圆锥,其中球体的半径为 1,圆柱与圆锥的底面半径都是 1,高都是 2,所以组合体的体积12为 1 3+ 1 22+ 1 22= .1443 12 1213 53答案:11.三棱锥 S-ABC的底面是以 AB为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC= ,则三棱锥 S-8ABC的外接球的表面积是_. 【解析】由题意可得 ASBS,所以取 AB中点 O,则 O是三棱锥 S-ABC的外接球的球心,半径为 1.所以 S=4.答案:412.如图,在四面体
9、P-ABC中,PA=PB=PC=4,点 O是点 P在平面 ABC上的射影,且ABC 为正三角形,tanAPO= ,则四面体 P-ABC的外接球的体积为_. 【解析】在四面体 P-ABC中,PA=PB=PC=4,点 O是点 P在平面 ABC上的射影,且 tanAPO= ,所以 tanAPO= = ,设 AO= k,则 PO=2k,k0,在 RtAPO 中,有 PO2+AO2=6k2=PA2=16,k= ,AO= ,PO= .如图,设 M为四面体 P-ABC的外接球的球心,则AM=PM=R,OM= -R.9所以 R2= + ,解得 R= ,(463 -)2(433)2所以四面体 P-ABC的外接球的体积 V= ( )3=8 .43答案:8
