1、1专题 4 立体几何真题引领洞悉考情1.(2017全国卷)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC= ,那么圆柱的体积 V=r 2h= 1= .(32)2 342. (2018全国卷)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 9 ,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 ( )A.12 B.18 C.24 D.54【解析】选 B.设ABC 的边长为 a,则 SABC = a2sin C= a2=9 ,解得 a=6,12如图所
2、示,当点 D 在底面上的射影为三角形 ABC 的中心 H 时,三棱锥 D-ABC 的体积最大,设球心为 O,则在直角三角形 AHO 中,AH= 6=2 ,OA=R=4,则 OH= =23 2-2=2,所以 DH=2+4=6,所以三棱锥 D-ABC 的体积最大值为 V= SABC DH= 916-1213 136=18 .23.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为 ,SA 与圆锥底面78所成角为 45,若SAB 的面积为 5 ,则该圆锥的侧面积为_. 15【解析】如图:设 SA=SB=l,底面圆半径为 r,因为 SA 与圆锥底面所成角为 45,所以 l= r
3、,在SAB 中,AB2=SA2+SB2-2SASBcosASB= r2,12AB= r,AB 边上的高为 = r,SAB 的面积为 5 ,304所以 r r=5 ,解得 r=2 ,12 304 15 10所以该圆锥的侧面积为 r l= r2=40 .答案:40 4.(2017全国卷)如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,ACD 是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面 ACD平面 ABC.(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C 的余弦值.【解析】(1)取 AC 中点 O,连接 OD,O
4、B.由ABD=CBD,AB=BC=BD 知ABDCBD,所以CD=AD.由已知可得ADC 为等腰直角三角形,D 为直角顶点,3则 ODAC,设正ABC 边长为 a,则 OD= AC= a,OB= a,BD=a,所以 OD2+OB2=BD2,12 12即 ODOB.又 OBAC=O,所以 OD平面 ABC,又 OD平面 ACD,所以平面 ACD平面 ABC.(2)以 OA,OB,OD 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由(1)得当 E 为 BD 中点时,平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,故可得A ,D ,C ,E ,(2,0,0) (0,0,2) (
5、0, 34,4)则 = , = .(-2, 34,4) (-2,0,2)设平面 ADE 的一个法向量为 n1= ,(1,1,1)则 即令 z1=1,则 x1=1,y1= ,所以 n1= .(1, 33,1)同理可得平面 AEC 的一个法向量 n2= ,(0,-1, 3)所以 cos= = = .12|1|2|233213 2因为二面角 D-AE-C 的平面角为锐角,所以二面角 D-AE-C 的余弦值为 .【加练备选】1.(2017全国卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,且BAP=CDP=90.4(1)证明:平面 PAB平面 PAD.(2)若 PA=PD=AB=DC,APD=90,求
6、二面角 A-PB-C 的余弦值.【解析】(1)因为BAP=CDP=90,所以 PAAB,PDCD,又因为 ABCD,所以 PDAB,又因为 PDPA=P,PD,PA平面 PAD,所以 AB平面 PAD,又因为 AB平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.(2)取 AD 中点 O,BC 中点 E,连接 PO,OE,因为 AB CD,所以四边形 ABCD 为平行四边形,所以 OE AB,由(1)知,AB平面 PAD,所以 OE平面 PAD,又因为 PO,AD平面 PAD,所以 OEPO,OEAD,又因为 PA=PD,所以 POAD,所以 PO,OE,AD 两两垂直,所以以 O 为坐标原点,建立
7、如图所示的空间直角坐标系,设 PA=2,所以 D ,B ,P ,( 2,2,0) (0,0, 2)C ,所以 = , = ,( 2,2,- 2)= ,5设 n= 为平面 PBC 的法向量,(,)由 得 2+2- 2=0,-22=0, 令 y=1,则 z= ,x=0,可得平面 PBC 的一个法向量 n= ,2 (0,1, 2)因为APD=90,所以 PDPA,又因为 PDAB,PAAB=A,所以 PD平面 PAB,即 是平面 PAB 的一个法向量, = ,所以 cos= = =- ,-223由图知二面角 A-PB-C 为钝二面角,所以它的余弦值为- .2.(2016全国卷)如图,在以 A,B,C
8、,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60.(1)证明:平面 ABEF平面 EFDC.(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值.【解析】(1)因为 ABEF 为正方形,所以 AFEF.因为AFD=90,所以 AFDF.因为 DFEF=F,所以 AF面 EFDC,AF面 ABEF,所以平面 ABEF平面 EFDC.(2)由(1)知DFE=CEF=60.因为 ABEF,AB平面 EFDC,EF平面 EFDC,所以 EF平面 ABCD,AB平面 ABCD.因为面 ABCD面 EFDC=CD,所以 ABC
9、D,所以 CDEF,所以四边形 EFDC 为等腰梯形,6以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD=a,E(0,0,0),B(0,2a,0),C ,A(2a,2a,0),(2,0, 32)=(0,2a,0), = , =(-2a,0,0).(2,-2, 32)设平面 BEC 的法向量为 m=(x1,y1,z1).即21=0,21-21+321=0,令 x1= ,则1=0,1=-1,m=( ,0,-1).设平面 ABC 法向量为 n=(x2,y2,z2),即22-22+322=0,22=0. 令 y2= ,则2=0,2=4,n=(0, ,4).设二面角 E-BC-A 的大小为 .cos = = =
10、- ,| -43+1 3+16所以二面角 E-BC-A 的余弦值为- .5.(2018全国卷)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点.7(1)证明:PO平面 ABC.(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.【解析】(1)因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=2 .连接 OB.因为 AB=BC= AC,所以 ABC 为等腰直角三角形,且3OBAC,OB= AC=2.由 OP2+OB2=PB2知 POOB.12由 OPOB,OPAC,OBAC=O,知 PO平面 ABC.(2)连接 OM,如图,以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向, 的方向为 y 轴正方向, 的方向为 z 轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 ),=(0,2,2 ),取平面 PAC 的法向量 =(2,0,0).设 M(a,2-a,0)(0= .8由已知得|cos|= .所以 = .解得 a=-4(舍去),a= .43所以 n= .又 =(0,2,-2 ),所以 cos= .所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .
