1、12.4.3 用空间向量的方法解立体几何问题考题预测精准猜押一、选择题1.在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,AC 与 B1D 所成角的大小为 ( )A.B.C.D.6 4【解析】选 D.以 A 点为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则 A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).所以 =(1,1,0), =(-1,1,-1),因为 =1(-1)+11+0(-1)=0,所以 ,所以 AC 与 B1D 所成的角为.2.如图,在一个 60 的二面角的棱上有两个点 A,B,线段
2、 AC,BD 分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱 AB,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为 ( )A.2a B. a C.a D. a 3【解析】选 A.因为 CAAB,BDAB,所以 = =0,因为=60,所以=120.因为 = + + ,所以 = + + +2 +2 +2 =a2+a2+4a2+0+2a2acos 120+0=4a2,2所以| |=2a.3.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )A.45 B.135C.45或 135 D.90【解析】选 A.cos= ,即=45.|所以两平面所成二面角为 45.4
3、.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC 1,则 BM 与AN 所成角的余弦值为 ( )A.B.C. D. 25【解析】选 C.由题意,以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC 1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱的棱长为 2,则可得 A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以 =(1,-1,2), =(-1,0,2).所以 cos= = .-1+412+(-1)2+22(-1)2+02+22二、填空题5.已知三棱锥 ABCD 中,ABCD,且 A
4、B 与平面 BCD 成 60角.当的值取到最大3值时,二面角 A -CD -B 的大小为_. 【解析】过 A 作 AO平面 BCD,连接 BO 并延长交 CD 于 E,连接 AE,则 BE 是 AB 在底面 BCD 上的射影,则ABE=60,因为 ABCD,AOCD,ABAO=A,所以 CD平面 ABE,所以 AECD,则AEB 是二面角 A-CD-B 的平面角,则=,1212要使的值取到最大值,则取得最大值, 由正弦定理得=,60所以当 sinBAE 取得最大值,即当BAE=90时取最大值,此时AEB=30.答案:306.如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1中,点 M,N 分别在 A
5、B1,BC1上,且 AM=AB1,BN=BC1,13则下列结论:AA 1MN;A 1C1MN;MN平面 A1B1C1D1;BD 1MN.其中正确命题的序号是_.(写出所有正确命题的序号) 4【解析】建立以 D 为坐标原点,DC,DA,DD 1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系.令正方体的棱长为 3,可得 D(0,0,0),A(0,3,0),A1(0,3,3),C1(3,0,3),D1(0,0,3),B(3,3,0),M(1,3,1),N(3,2,1).中, =(0,0,3), =(2,-1,0),因为 =0,所以正确;中, =(3,-3,0),与 不成线性关系,所以错;中,
6、易知平面 A1B1C1D1的一个法向量为 =(0,0,3),而 =0,且 MN平面 A1B1C1D1,所以正确 ;中, =(-3,-3,3),因为 0,所以错误.答案:三、解答题7.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,ACBC,D 为 PC 的中点,E 为 AD 的中点,点 F 在线段 PB 上,PA=AC=4,BC=2.(1)求证:AD平面 PBC.(2)若=,求证:EF平面 ABC.34(3)求 PE 与平面 ADB 所成角的正弦值.5【解析】(1)因为 PA平面 ABC,BC平面 ABC,所以 PABC.因为 ACBC,PAAC=A,所以 BC平面 PAC.因为 AD平面
7、PAC,所以 BCAD.因为 PA=AC,D 为 PC 的中点,所以 ADPC.因为 PCBC=C,所以 AD平面 PBC.(2)依题意,PA平面 ABC,ACBC,如图,以 A 为原点,分别以 , , 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得 A(0,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0), P(0,0,4),D(0,2,2), E(0,1,1), F.因为平面 ABC 的一个法向量 =(0,0,4), =,所以 =0,即 APEF.因为 EF平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(3)设平面 ADB 的法向量为 n=(x,y,z),则 n =0,n =0.由 =(0,2,2), =(2,4,0),得2+2=0,2+4=0,令 z=1,得 y=-1,x=2,即 n=(2,-1,1).设 PE 与平面 ADB 所成角为 ,因为 =(0,1,-3),所以 sin =|cos|= = .6所以 PE 与平面 ADB 所成角的正弦值为 .
