1、1专题能力提升练二十三 导数的简单应用与定积分(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.已知函数 f(x)的导数为 f(x),且满足关系式 f(x)=x2+3xf(2)+lnx,则 f(2)的值等于 ( )A.-2 B.2 C.- D.94【解析】选 C.因为 f(x)=x2+3xf(2)+lnx,所以 f(x)=2x+3f(2)+ ,所以 f(2)=22+3f(2)+ ,解得 f(2)=- .故选 C.2. sin2 dx= ( )A.0 B. -C. - D. -1【解析】选 B. sin2 dx= dx= = - .4123.已知曲线 y=x4+ax2+1 在
2、点(-1,f(-1)处切线的斜率为 8,则 f(-1)= ( )A.7 B.-4 C.-7 D.4【解析】选 B.因为 y=4x 3+2ax,所以-4-2a=8,所以 a=-6,所以 f(-1)=1+a+1=-4.24.设 f(x)= (其中 e 为自然对数的底数),则 f(x)dx 的值为 0( )A. B.2 C.1 D.43 23【解析】选 A.根据积分的运算法则,可知 f(x)dx 可以分为两段, 0则 f(x)dx= +lnx = +1= . 0 102+ 11=133 |10 | 1 13 435.已知函数 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x)=(2x-1)lnx,则曲线 y=
3、f(x)在点(-1,f(-1)处的切线斜率为( )A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选 B.因为当 x0 时,f(x)=(2x-1)lnx,所以 f(x)=2lnx+2- ,所以1f(1)=1因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-1)=-1,所以曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线斜率为-1.6.若 S1= dx,S2= (lnx+1)dx,S3= xdx,则 S1,S2,S3的大小关系为( )21 1 21 21 A.S10,所以2k0,所以排除 A,B.8.曲线 y=x2+2 与直线 5x-y-4=0 所围成的图形的面积为 ( )A. B. C. D.12 13 16
4、 19【解析】选 C.根据题意,由 消去 y,得 x2-5x+6=0,解得 x1=2,x2=3.当=2+2,5-4=020,g(x)在(1,+)上为增函数,则 g(x)的最小值 g(1)=0,则有 k+b=(lnx0-1)+ 0,10即 k+b 的取值范围是0,+).二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.(2018荆州一模)曲线 C:f(x)=sinx+ex+2 在 x=0 处的切线方程为_.【解析】因为 f(x)=sinx+ex+2,所以 f(x)=cosx+e x,所以曲线 f(x)=sinx+ex+2 在点 P(0,3)处的切线的斜率为:k=cos0+e 0=2,所以曲线 f(
5、x)=sinx+ex+2 在点 P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3.答案:y=2x+314.(2018化州二模)已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex垂直的切线,则实数 m 的取值范围为_.【解析】函数 f(x)=ex-mx+1 的导数为 f(x)=e x-m,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,即有 ex-m=- 有解,即 m=ex+ ,1 1由 ex0,则 m ,则实数 m 的范围为 ,(1,+)6答案: (1,+)15.曲线 y= ,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积为_.13【解析】由 得交点 A(1,1).=,=
6、2-由 得交点 B(3,-1).故所求面积S= dx+ dx= +(2332+162)|10(2-132)|31= + + = .231643136答案:13616.(2018遂宁一模)设函数 f(x)= x2-2ax(a0)与 g(x)=a2lnx+b 有公共点,且在公共点处32的切线方程相同,则实数 b 的最大值为_.【解析】设公共点坐标为(x 0,y0),则 f(x)=3x-2a,g(x)= ,2所以有 f(x 0)=g(x 0),即 3x0-2a= ,207解出 x0=a ,又 y0=f(x0)=g(x0),所以有 -2ax0=a2lnx0+b,故 b= -2ax0-a2lnx0,所以有 b=- a2-a2lna,对 b 求导有3220 3220 12b=-2a(1+lna),故 b 关于 a 的函数在 为增函数,在 为减函数,(0,1) (1,+)所以当 a= 时 b 有最大值 .1 122答案:122
