1、1鲁教版中考数学三角形分类训练四（解直角三角形）典例诠释：考点一 勾股定理及其逆定理的应用例 1 (2016大兴一模) 九章算术中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1 丈=10 尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3 尺，试问折断处离地面多高？如图 1-10-95，我们用线段 OA 和线段 AB 来表示竹子，其中线段 AB 表示竹子折断部分，用线段 OB 表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度 OA 是 尺.图 1-10-95【答案】 【名师点评】 本题是以古代数学著作为 背景，首先要读懂题目，哪些线段是已知，哪些线段是未知
2、： OB=3， OA+AB=10，求 OA 的长， 利用勾股定理即可得解.考点二 求三角函数值例 2 (2016延庆一模)如图 1-10-96，在 44 的正方形网格中，tan 的值等于( )图 1-10-96 A.2 B. C. D.【答案】 A【名师点评】求三角函数方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法常用的方法有：根据特殊的三角函数值求值；直接应用三角函数定义;借助变量之间的数量关系求值;根据三角函数关系求值;构造直角三角形求值.例 3 (2016怀柔二模)如图 1-10-97，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 度，AC=7 米，则树高 BC 为(
3、)2图 1-10-97A7sin 米 B7cos 米 C7tan 米 D(7+ )米【答案】 C【名师点评】 此题考查三角函数的定义和仰角的知识，已知 A、 AC，求 BC，利用 A 的正切值即可.考点三 特殊三角函数值的计算例 4 (2016怀柔一模)2sin 45【答案】 2 【名师点评】 此题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是关键，另外要求我们熟练记忆一些特殊角的三角函数值考点四 解直角三角形例 5 如图 1-10-98，在 ABC 中， A=30， B=45， AC=2，求 AB 的长.图 1-10-98【答案】 3+【名师点评】 将斜三角形转化为直角三角形是解决
4、三角形中有关计算的重要思想方法，解决的方法是作三角形的高例 6 (2016东城二模)如图 1-10-99，矩形 ABCD 中， M 为 BC 上一点， F 是 AM 的中点，EF AM，垂足为 F，交 AD 于点 E(1)求证： BAM= AEF；(2)若 AB=4， AD=6，cos BAM=，求 DE 的长.3图 1-10-99 (1)【证明】 四边形 ABCD 是矩形， B= BAD=90. EF AM， AFE= B= BAD=90. BAM+ EAF= AEF+ EAF=90. BAM= AEF.(2)【解】 在 Rt ABM 中， B=90， AB=4，cos BAM=， AM=5
5、. F 为 AM 中点， AF=. BAM= AEF， cos BAM=cos AEF=. sin AEF=.在 Rt AEF 中， AFE=90， AF=，sin AEF=， AE=， DE=AD AE=6=.【名师点评】 (1)通过“同角的余角相等”易证；(2)在 ABM 中，知 AB 和 BAM 的余弦值可以得到 AM 的长，再利用相似或三角函数求 AE 的长，从而求出 DE 的长.考点五 解直角三角形的应用例 7 (2016门头沟一模) 如图 1-10-100， A， B， C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置， AB， BC 表示连接缆车站的钢缆已知 A， B， C 所处位置的海
6、拔， ，分别为 130 米，400 米，1 000 米由点 A 测得点 B 的仰角为 30，由点 B 测得点 C 的仰角为 45，那么AB 和 BC 的总长度是( )图 1-10-100A.1 200+270 B.800+270C.540+600 D.800+600【答案】 C4基础精练：1.(2016平谷一模)在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为 1 丈(1 丈=10 尺)的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它
7、的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”如图 1-10-101，设这个水池的深度是 x 尺，根据题意，可列方程为 图 1-10-101【答案】 2.(2016顺义一模)算法统综是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大伟，在算法统综有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女家人争蹴良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”如图 1-10-102，设秋千的
8、绳索长为 x 尺，根据题意可列方程 .【答案】 图 1-10-102 3.如图 1-10-103，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米图 1-10-1035【答案】 10 4.(2016通州一模)在我国古算书周髀算经中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五” ，亦被称作商高定理. 如图 1-10-104 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图 1-10-105 是由图 1-10-104 放入矩形内得到的， BAC=90， AB=3， AC=
9、4， D， E， F， G， H， I 都在矩形KLMJ 的边上，那么矩形 KLMJ 的面积为 .图 1-10-104 图 1-10-105【答案】 110 6.(2016丰台二模)如图 1-10-106 所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡角是 30，堤高 BC= 5 m，则坡面 AB 的长度是( )图 1-10-106A.10 m B.10 mC.15 m D.5 m【答案】 A7.(2016平谷二模)如图 1-10-107，为测量一棵与地面垂直的树 BC 的高度，在距离树的底端 4 米的 A 处，测得树顶 B 的仰角 =74，则树 BC 的高度为( )图 1-10-107A.米 B.4si
10、n 74米 C.4tan 74米 D.4cos 74米6【答案】 C8.(2016西城一模)某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况如图 1-10-108，通过直升机的镜头 C 观测水平雪道一端 A 处的俯角为 30，另一端 B处的俯角为 45若直升机镜头 C 处的高度 CD 为 300 米，点 A， D， B 在同一直线上，则雪道 AB 的长度为( )图 1-10-108A300 米 B1 502 米 C900 米 D(300+300)米【答案】 D9.(2016顺义二模)如图 1-10-109，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点 E
11、 在电线杆的上三分之一处，所以知道 BE 的高度就可以知道电线杆 AB 的高度了要想得到 BE 的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出.请你设计出要测量的对象： ；请你写出计算 AB 高度的思路： .图 1-10-109【解】 BCE 和线段 BC；思路：在 Rt BCE 中，由 tan BCE=，求出 BE=BCtan BCE，由 AE=AB，可求得 BE=AB， AB=BE=BCtan BCE10.(2016延庆一模)如图 1-10-110，甲船在港口 P 的南偏西 60方向，距港口 86 海里的A 处，沿 AP 方向以每小时 15 海里的速度匀速驶向港口 P乙船从港口 P 出发，沿
12、南偏东45方向匀速驶离港口 P，现两船同时出发，2 小时后乙船在甲船的正东方向求乙船的航行速度(结果精确到个位，参考数据：1.414，1.732，2.236)7图 1-10-110 【解】 依题意，设乙船速度 为每小时 x 海里，2 小时后甲船在点 B 处，乙船在点 C 处，PC=2x，如图 1-10-111,过 P 作 PD BC 于 D， BP=86215=56.图 1-10-111在 Rt PDB 中， PDB=90, BPD=60， PD=PBcos 60=28.在 Rt PDC 中， PDC=90， DPC=45， PD=PCcos 45=2x=x， x=28，即 x=1420答：乙
13、船的航行速度为每小时 20 海里11.(2016通州二模)如图 1-10-112，在 ABCD 中，1=2，3=4， EF AD，请直接写出与 AE 相等的线段 (两条即可)，写出满足勾股定理的等式 .(一组即可)图 1-10-112【答案】 AD， DF 12.(2011平谷二模)已知：如图 1-10-113， ACB=90， AC=BC , AD = BE, CAD= CBE, (1)判断 DCE 的形状，并说明你的理由；(2)当 BD CD=12， BDC=135时，求 sin BED 的值. 8图 1-10-113 【解】 (1)如图 1-10-114.图 1-10-114 AC=BC
14、,AD=BE, CAD= CBE, ADC BEC, DC=EC,1=2. 1+ BCD=90， 2+ BCD=90. DCE 是等腰直角三角形 .(2) DCE 是等腰直角三角形， CDE=45. BDC=135， BDE=90. BD CD=12,设 BD=x，则 CD=2x， DE=2x， BE=3x. sin BED=.13.如图 1-10-115 所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的 O 的圆心 O 在格点上，则 AED 的正切值等于 图 1-10-115【答案】 14.(2014丰台二模)将两个直角三角板按图 1-10-116 中方式叠放， BC=4，那么 BD
15、= .9图 1-10-116【答案】 215.(2014石景山一模)如图 1-10-117，在四边形 ABCD 中， AB=2, A= C=60,DB AB 于点 B， DBC=45，求 BC 的长.图 1-10-117 【解】 如图 1-10-118,过点 D作 DE BC 于点 E.图 1-10-118 DB AB,AB=2， A=60， BD=ABtan 60=2. DBC=45， DE BC， BE=DE=BDsin 45=. C= A=60， DEC=90， CE=， BC=+.16.(2014昌平一模)如图 1-10-119，已知： BD 是四边形 ABCD 的对角线，AB BC，
16、 C=60， AB=1， BC=3+， CD=2.(1)求 tan ABD 的值； (2)求 AD 的长.图 1-10-119【解】 (1)如图 1-10-120,作 DE BC 于点 E. 在 Rt CDE 中， C=60， CD=2， CE=,DE=3.10 BC=3+， BE=BC CE=3+=3. DE=BE=3. 在 Rt BDE 中， EDB= EBD=45. AB BC， ABC=90， ABD= ABC EBD=45. tan ABD=1.图 1-10-120(2)如图 1-10-120,作 AF BD 于点 F.在 Rt ABF 中， ABF=45,AB=1， BF=AF=.
17、 在 Rt BDE 中， DE=BE=3， BD=3. DF=BD BF=3=. 在 Rt AFD 中， AD=.17.(2016西城一模)如图 1-10-121，在 ABCD 中，过点 A 作 AE DC 交 DC 的延长线于点 E，过点 D 作 DF EA 交 BA 的延长线于点 F(1)求证：四边形 AEDF 是矩形；(2)连接 BD，若 AB=AE=2，tan FAD=，求 BD 的长图 1-10-121 (1)【证明】 四边形 ABCD 是平行四边形， AB DC，即 AF ED. DF EA, 四边形 AEDF 是平行四边形. AE DE， E=90， 四边形 AEDF 是矩形.(
18、2)【解】 如图 1-10-122.11图 1-10-122 四边形 AEDF 是矩形， FD=AE=2， F=90. 在 Rt AFD 中，tan FAD=， AF=5. AB=2， BF=AB+AF=7. 在 Rt BFD 中， BD=.真题演练：1.(2016北京)计算：+4sin 45+|1|.【答案】 2.(2012北京)如图 1-10-123，在四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 E， BAC90， CED45， DCE30， DE， BE2.求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积.图 1-10-123 【解】 如图 1-10-124,过点 D 作 DH AC，图 1-10-124 CED=45， DH EC， DE=， EH=DH=1.又 DCE=30， HC=， DC=2. AEB=45， BAC=90， BE=2， AB=AE=2， AC=2+1+=3+， =2(3+)+1(3+)=.
