1、1甘肃省玉门一中 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试卷 文（含解析）第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本大题共 15 小题。每小题 4 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数 的最优解为点 ，联立 ，解得 ，所以 的最小值为 考点：线性规划【此处有视频，请去附件查看】2.已知 则 的最小值是（ ）a 0,b 0,a+b=2 y=1a+4bA. B. 4 C. D. 572 92【
2、答案】C【解析】本题考查基本不等式的应用及转化思想.因为 a0,b0,a+b=2,1a+4b=12(a+b)(1a+4b)=12(5+ba+4ab)当且仅当 ，即 是等号成立.故选 C12(5+2ba4ab)=92; ba=4ab且 a+b=2(a0,bb0) F1 x PF2 F1PF2=60则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 22 33 12 13【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形 边的比例关系，得到 的比例，也即求得椭圆的离心率.F1PF2 2a,2c【详解】在直角三角形 中，由于 ，故 ，所以F1PF2 F1PF2=60 |PF1|:|PF2|:|F1F2|=1:2:
3、3.e=2c2a= |F1F2|PF1|+|PF2|= 31+2=33【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查直角三角形的几何性质，考查椭圆离心率的求解，属于基础题.椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和是一个常数，这个和为 ，焦2a距是 .对于一个直角三角形，如果是等腰直角三角形，则两个锐角为 ，边的比为2c 45；如果有一个角是 的直角三角形，则边的比为 .最长的边为斜边.1:1: 2 60 1: 3:27.已知点 分别是椭圆 的左、右焦点,点 在此椭圆上,则 的周长等于( )F1,F2x225+y29=1 P PF1F2A. 20 B. 18 C. 16 D. 14【答案】B【解析】【分析
4、】焦点三角形的周长为 ，由此计算得选项.2a+2c【详解】焦点三角形的周长为 ，依题意 ，故周长为 ，2a+2c a=5,b=3,c=4 2a+2c=10+8=18所以选 B.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何意义，焦点三角形的周长为 ，直接2a+2c计算得出结果，属于基础题.48.曲线 在点 处的切线方程为( )y=x33x2+1 (1,1)A. B. y=3x4 y=4x5C. D. y=4x+3 y=3x+2【答案】D【解析】试题分析：由曲线 y x33 x21，所以 ，曲线 在点处的切线的斜率为： ，此处的切线方程为： ，即.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程点评：本题考查导
5、数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力9.在锐角 中,角 所对的边长分别为 .若 ,则角 等于( )ABC A,B a,b 2asinB= 3b AA. B. C. D. 3 4 6 12【答案】A【解析】在 ABC 中， a2 RsinA， b2 RsinB(R 为 ABC 的外接圆半径)2 asinB b，2sin AsinB sinB.3 3sin A .又 ABC 为锐角三角形， A .32 310.双曲线 的渐近线方程为( )x2y23=1A. B. C. D. y= 3x y=3x y=13x y=33x【答案】A【解析】双曲线实轴在 轴上时，渐
6、近线方程为 ，本题中 ，得渐近线方程为x y=bax a=1,b= 3，故选 A.y= 3x11.抛物线 y2x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为( )A. B. ( ， ) C. ( ， ) D. ( ， )(32， 62) 74 72 94 32 52 1025【答案】B【解析】【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知抛物线y2=x 上的一点 P 到焦点的距离是 2，P 到准线的距离也为 2，即可得出结论【详解】：抛物线方程为 y2=x抛物线的 2p=1，得 ，p2=14设 P（x，y） ，抛物线 y2=x 上的一点 P 到焦点的距离
7、是 2， x+14=2， x=74 y=72因此，可得点 P 的坐标是( ， )。74 72故选 B【点睛】充分利用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解12.双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线x2a2y2b2=1 a0 b0 F1， F2 F1 30交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ ）M MF2 xA. B. C. D. 6 3 233【答案】B【解析】试题分析：设 ，易求 M 坐标为 ，在三角形 中，即 ，由 得 ，答案选 B.考点：双曲线的性质13.已知 ,则 等于
8、( )f(x)=x2+2xf(1) f(0)6A. B. C. D. 0 4 2 2【答案】B【解析】本题考查导数的运算.则 所以 于是f(x)=2x+2f(1), f(1)=2+2f(1), f(1)=2;故选 Bf(0)=20+2(2)=4.14.直线 与椭圆 相交于 两点,则 等于( )y=xx24+y2=1 A,B |AB|A. B. C. D. 2455 4510 8510【答案】C【解析】【分析】将直线方程与椭圆方程联立，解出 两点的坐标，然后利用两点间的距离公式求得 的A,B |AB|值.【详解】由 ，解得 ，由两点间的距离公式得y=xx24+y2=1 A(25,25),B(25
9、,25).故选 C.|AB|= (45)2+(45)2= 325=4105【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查直线和椭圆相交所得的弦的弦长求法，属于基础题.15.函数 的定义域为开区间 ，其导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开f(x) (a,b) f(x) (a,b) f(x)区间 内极小值点的个数为（ ）(a, b)A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】A【解析】试题分析：在极小值点处满足： ,由图可知在7右边第二个零点处满足条件，故 A.考点：极值点定义.第卷（非选择题 共 90 分）二.填空题：本大题共 5 小题
10、，每小题 4 分，共 20 分。16.九章算术卷第六均输中,有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊,且五人所得依次成等差数列,则乙与丙两人共分得_钱【答案】136【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，利用前 项和以及前两项和等于后三项和列方程组，解方程组5求得 ，由此求得乙、丙两人分得的钱，再相加求得结果.a1,d【详解】设甲、乙、丙、丁、戊分别为 ，等差数列公差为 ，依题意有a1,a2,a3,a4,a5 d，即 ，解得 .乙、丙两人共分得a1+a2+a3+a4+a5=5a1+a2=a3+a4+a5 5a1+10d=
11、52a1+d=3a1+9d a1=43,d=16.a2+a3=2a1+3d=243316=136【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列基本元的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有 个基本量 ，5 a1,d,an,Sn,n利用等差数列的通项公式或前 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求n得数列 ，进而求得数列其它的一些量的值.a1,d17.双曲线 的顶点到渐近线的距离是_.3x2y2=3【答案】32【解析】【分析】先求得双曲线的标准方程，由此求得其顶点和渐近线的方程，再用点到直线的距离公式求得距离.8【详解】双曲线的标准方程
12、为 ，故双曲线顶点为 ，渐近线方程为 .点x2y23=1 (1,0) y= 3x到直线 的距离为 .故填 .(1,0) 3xy=032 32【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，包括顶点坐标以及渐近线方程，考查点到直线的距离公式.属于基础题.18.抛物线 的焦点坐标是 .y=x2【答案】 （0， ）14【解析】抛物线 即 ，焦点坐标是（0， ）.y=x2, x2=y1419.过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =_y2=4x F A,B |AF|=3 |BF|【答案】32【解析】设 AFx ，则由抛物线的定义知 xA123cos 3，得 cos .13
13、又|BF| xB11|BF|cos 12 |BF|，|BF| .13 32【此处有视频，请去附件查看】20.已知函数 ,则函数的单调减区间为_.f(x)=x3+12x22x+4【答案】 (1,23)【解析】【分析】求导求导 ，解 即可.f(x)=3x2+x-2 f(x)2， =m2-40x1+x2=m0x1x2=10 11q 真 2m1或 m3 综上所述：m(1,23，+)【此处有视频，请去附件查看】25.椭圆 经过点 ,且离心率为 .E:x2a2+y2b2=1(ab0) A(0,1) 22(1)求椭圆 的方程;E(2)经过点 ,且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 (均异于点 ),证明:直线
14、 与(1,1) k E P,Q A AP的斜率之和为 .AQ 2【答案】 （1） （2）见解析x22+y2=1【解析】【分析】（1）根据 的坐标得到 ，根据离心率和 列方程组，解方程组求得的值，由此求A b a2=b2+c2得椭圆方程.（2）设出直线 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，计算PQ kAP+kAQ的值，化简后得到结果为 ，得证 .2【详解】 （1）.由题意知 , ,ca=22b=1综合 ,a2=b2+c2解得 ,a= 2所以,椭圆 的方程为 . Ex22+y2=1（2）.由题设知,直线 的方程为 ,P、 Q y=k(x-1)+1,(k2)代入 ,x22+y2=1得 ,(1+2k2
15、)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0由已知 ,0设 , ,P(x1,y1) Q(x2,y2) x1x2012则 , , x1+x2=4k(k-1)1+2k2x1x2=2k(k-2)1+2k2从而直线 与 的斜率之和AP AQ kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1 +kx2+2-kx2=2k+(2-k)(1x1+1x2)=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2).=2k-(2k-1)=2【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查几何问题代数化的方法，属于中档题.26.已知 是实数，函数 。f(
16、x)=x2(xa)（）若 ，求 的值及曲线 在点 处的切线方程；f(1)=3 y=f(x) (1,f(1)（）求 在区间 上的最大值。f(x)【答案】 （1） ， ；（2） 3xy2=0 fmax(x)=84a,(a2)0,(a2) 【解析】试题分析：（I）求出 f（x） ，利用 f（1）=3 得到 a 的值，然后把 a 代入 f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于 f（1）=3，写出切线方程即可；（II）令 f（x）=0 求出 x 的值，利用 x 的值分三个区间讨论 f（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值（1）解： ，f(x)=3x22ax因为 ，所以
17、f(1)=32a=3 a=0又当 时， ， ，a=0 f(1)=1 f(1)=3所以曲线 在 处的切线方程为 y=f(x) (1， f(1) 3xy2=0（2）解：令 ，解得 ， f(x)=0 x1=0 x2=2a3当 ，即 时， 在 上单调递增，从而 2a30 a0 f(x) 0， 2 fmax=f(2)=84a当 ，即 时， 在 上单调递减，从而 13当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，从而综上所述，考点：本题主要考查了导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力点评：解决该试题的关键是理解导数的几何意义的运用，和导数的符号对于函数单调性的影响：导数大于零得到的区间为增区间，导数小于零得到的区间为减区间。对于参数分类讨论是个难点。
