1、1南京市六校联合体高三年级 12月份联考试卷数 学 注 意 事 项 ：1本试卷共 4页，包括填空题（第 1题第 14题） 、解答题（第 15题第 20题）两部分本试卷满分为 160分，考试时间为 120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据 x1， x2， xn的方差 s2 (xi )2，其中 xi；1n x x 1n锥体的体积公式： V Sh，其中 S为锥体的底面积， h为锥体的高；13圆锥的侧面积公式： ，其中 为底面半径， 为母线长rll一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共
2、 14小 题 ， 每 小 题 5分 ， 计 70分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1已知集合 ，集合 ，则 = 3,20M1,NMN2双曲线 的渐近线方程是 592yx3复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 的模是 zi1iz4. 若一组样本数据 3，4，8，9， 的平均数为 6，则该组数据的a方差 s2 5从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是_6如图所示的流程图的运行结果是 7若圆锥底面半径为 1，侧面积为 ,则该圆锥的体积5是_ 8设直线 是曲线 的切线，则直线 的斜
3、率 l xyln2l的最小值是 9已知 ，则 的值是 ,)tan(740,)sin(610已知函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，且当 x0 时， 若xf2)(f (a)4 f ( a)，则实数 a的取值范围是 开 始 结 束 S输 出YN4a1,5SS1第 6 题图211 ABC中， ， E为边 AC中点，0634ACB,213D，则 D的值为 12已知圆 ，直线 与 轴交于点 ，过 上一点 作2:()xy:20lkxyAlP圆 的切线，切点为 ，若 ，则实数 的取值范围是 TPATk13已知 nN*, ， ， ，其na1b12ma,n ncbnab中 表示 这 个数中最大的数数列 的前
4、 n项和为12mx,s2,sx c，若 对任意的 nN*恒成立，则实数 的最大值是 nT0n14已知函数 2()1fxa.若对任意的 (0,3)a，存在 0,4x，使得0|t成立，则实数 t的取值范围是 _.二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC, ,abc3sincosAaB（1）求角 ； （2）若 ， ，求 ， 3bsinsiA16(本小题满分 14分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形， AC与 BD交于点 O，PC底面 A
5、BCD， 点 E为侧棱 PB的中点求证：(1) PD平面 ACE；(2) 平面 PAC平面 PBD题 16 图ABCDPOE317. (本小题满分 14分）已知椭圆 ： 上一点与两焦点构成的三角形的周长为 ,离C)0(12bayx 4+23心率为 . 32（ 1） 求椭圆 的方程；（ 2） 设 椭圆 C的右顶点和上顶点分别为 A、 B，斜率为 的直线 l与椭圆 C交于12P、 Q两点（点 P在第一象限）.若四边形 APBQ面积为 ，求直线 l的方程. 718(本小题满分 16分）如图，某公园内有一个以 O为圆心，半径为 5百米，圆心角为 的扇形人工湖23OAB， OM、 ON是分别由 OA、
6、OB延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与 相切点 F，且与 OM、 ON分别相交于AB C、 D，另两条是分别和湖岸 OA、 OB垂直的 FG、 FH (垂足均不与 O重合)(1) 求新增观光道 FG、 FH长度之和的最大值； (2) 在观光道 ON段上距离 O为 15百米的 E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道 CD的延长线不能进入以 E为圆心，2.5百米为半径的圆形 E的区域内则点 D应选择在 O与 E之间的什么位置？请说明理由ABMCDO NGFHE419(本小题满分 16分）已知数列 an各
7、项均不相同， a11，定义 ，其中 n， kN*knnnakb)1()（1）若 ，求 ；b）（ 5（2）若 bn1 (k)2 bn(k)对 均成立，数列 an的前 n项和为 Sn2,（i）求数列 an的通项公式；（ii）若 k， tN *，且 S1， Sk S1， St Sk成等比数列，求 k和 t的值20(本小题满分 16分）已知函数 ln(),()xxfge.(1)求 fx的极大值；(2)当 0a时，不等式 ()xab恒成立，求 a的最小值；(3)是否存在实数 kN，使得方程 ()1()fxgx在 ,1)k上有唯一的根，若存在，求出所有 的值，若不存在，说明理由.5南京市六校联合体高三年级
8、 12月份联考试卷数学参考答案及评分标准 2018.12说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分.)1 2 3 4 5 6 7 0,xy52612038 4 9 10 11 12 或143
9、-，3kk13 14 t二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15 【解析】 （1）在 中，ABC由正弦定理 ，得 2分siniab3sinsicoBAB又因为在 中 0所以 4分3ico法一：因为 ，所以 ，因而 0Bsincos0所以 ，sin3tac所以 6分66法二： 即 ， 4分3sinco0B2sin()06B所以 ，因为 ，()6kZ所以 6分（2）由正弦定理得 ，siniacAC而 ，si3C所以 ， 9ca分由余弦定理 ，得 ，22cosbaB29cos6a即 ， 12分239ac把代入得 ，
10、. 14分3c16 【解析】证明：(1) 连接 OE因为 O为正方形 ABCD的对角线的交点，所以 O为 BD中点 2 分因为 E为 PB的中点，所以 PDOE 4 分又因为 OE面 ACE，PB 平面 ACE，所以 PD平面 ACE 6 分(2) 在四棱锥 PABCD 中， 因为 PC底面 ABCD，BD面 ABCD，所以 BDPC 8 分因为 O为正方形 ABCD的对角线的交点，所以 BDAC 10 分又 PC、AC平面 PAC，PCACC，所以 BD平面 PAC 12 分因为 BD平面 PBD，所以平面 PAC平面 PBD 14 分17. 【解析】 （1）由题设得 4+23，又 2e，解
11、得 2,3ac, 1b.2分题 16 图ABCDPOE7故椭圆 C的方程为214xy. 4分（2）设直线 l方程为： 2m代入椭圆2:14xCy并整理得：，0xm设 ，则 . 6分12(,)(,)PyQx12x21| y， 82 2 215|()4844kxxxm分到直线 PQ的距离为 ，B521md到直线 PQ的距离为 ， 10 分A又因为 在第一象限, 所以 ，P所以 ，5412521)()(d所以 ， 1278221 mPQSAPBQ分解得 ，m所以直线方程为 1421xy分18解： (1) 连结 OF， OF CD于点 F，则 OF5设 FOD ，则 FOC ( )，故 FH5sin
12、， FG5sin( )，23 6 2 232分则 FG FH5sin( )5sin 2385( cos sin sin )5( sin cos )5 sin( ) 32 12 32 32 3 64分因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，6 2 3 6 23 6 2 3(FG FH)max5 6 分3(2) 以 O为坐标原点，以 ON所在的直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy由题意，可知直线 CD是以 O为圆心，5为半径的圆 O的切线，直线 CD与圆 E相离，且点 O在直线 CD下方，点 E在直线 CD上方由OF5，圆 E的半径为 2.5，因为圆 O的方程为x2 y225，圆 E的方程为
13、( x15)2 y26.25，8 分设直线 CD的方程为 y kx t ( k0， t0)，3即 kx y t0，设点 D(xD，0)则 10分tk2 1 5 ， 15k tk2 1 2.5 )由得 t5 ， 12 分k2 1代入得 ，解得 k2 13 分13又由 k0，得 0 k23，故 k23，即 3313 13 1k2在 y kx t中，令 y0，解得 xD ，所以 xD10t k 5 1 1k2 10 3315分答：(1) 新增观光道 FG、 FH长度之和的最大值是 5 百米；3(2) 点 D应选择在 O与 E之间，且到点 O的距离在区间( ，10)(单位：百米)内10 33的任何一点
14、处 16分19.解：（1）因为 ，nabn1)（xyEABMCDOGFH N9所以 ，10432151a所以 . 4分9（2） （i）因为 bn1 (k)2 bn(k)，得 ， ）（ knaa1令 k1, ，）（21-nnk2， ， 6 分）（ 23n由得 ，）（ 12-naa+得 ， 8 分）（n+得 ，1又 ，所以数列 是以 1为首项，2 为公比的等比数列，0ana所以 1012n分（ii）由（i）可知 Sn2 n1因为 S1， Sk S1， St Sk成等比数列，所以( Sk S1)2 S1(St Sk)，即(2 k2) 22 t2 k， 12分所以 2t(2 k)232 k4，即 2t
15、2 (2 k1 )232 k2 1(*)由于 Sk S10，所以 k1，即 k2当 k2 时，2 t8，得 t3 14分当 k3 时，由(*)，得(2 k1 )232 k2 1 为奇数，所以 t20，即 t2，代入(*)得 22k2 32 k2 0，即 2k3，此时 k无正整数解综上， k2， t3 1610分20 （1） 1()xfe，令 ()0f，得 1x. 2分当 x时， ，则 在 ,)上单调递增，当 1x时， ()0fx，则()f在 ,)上单调递减，故当 x时， (f的极大值为 1e4 分（2）不等式 ()xgab恒成立，即 ln0xab恒成立，记 ln(0)mx，则 1()()mx，
16、当 0a时，令 )，得 a，6 分当 1(,x时， (x，此时 ()x单调递增，当 1(,)xa时， ()0mx，此时 )m单调递减，则 ma1)ln0b，即 ln1，8分则 ln1ba， 记 l()n，则 2l()()a，令 ()0a，得1a当 (0,)时， ()0，此时 ()单调递减，当 (1,)时， ()n，此时n单调递增， min()a，故ba的最小值为 1. 10分（3）记 (1)ln()xxse，由 213l()0,()10ssee，12分故存在 k，使 ()()fg在 ,上有零点，下面证明唯一性： 当 01x时， 0,x10，故 ()sx， 在 (0,1上无解)(s14分当 时， 2ln()xse，而 2,1ln,xxe，11此时 ()0sx， ()s单调递减，所以当 1k符合题意 16分
