1、120182019 学年度高三年级第三次模拟考试数学科试卷（文科）答题时间：120 分钟；满分：150 分；命题人：高三备课组第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， 或 ，则AkN|10k|2Bxn3,NABA B C D6,93,691,69069,10答案：D2已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“ 是 ， ， 成等pRx0202xq2bacbc比数列的充要条件” ，则下列命题中为真命题的是 A B C D q()pq()p()pq答案：C3已知角 的终边过点 （ ） ，则 的值是
2、(4,3)Pk02sincoA B C 或 D随着 的取值不同，其值不同25255k答案：B4已知函数 （ ）的最小正周期为 ，为了得到函数()cos)4fx0的图象，只要将 的图象 ()csgx(yfxA向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度44C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度88答案：D5函数 xefln)(在点 )1(,f处的切线方程是A 12y B ey C )1(xey D exy答案：C6已知 ， 是非零向量，且向量 ， 的夹角为 ，若向量 ，则abab3|abp|p2A B C D232333答案：D7在等差数列 中，若 ，则 的值为 na4681029aa1
3、04aA B C D121 8答案：A 8在各项均为正数的等比数列 中， ， 成等差数列， 是数列na2154,anS的前 项的和，则na410SA1008 B2016 C2032 D4032答案：B9已知函数 ，则 的图象大致为 ()ln1fx()yfxA. B. C. D.A B C D答案：A10已知圆 O： 240xy，圆 ： 2150xy，若圆 O的切线 l交圆 C于,B两点，则 面积的取值范围是A 152,7 B 8,72 C 2,3 D 8,32 答案：A11函数321,(0)()axfxe在 ,上的最大值为 2，则 a 的取值范围是 A 1ln2, B ,ln C (,0) D
4、 1(,ln答案：D12已知函数 ，则42si()xf12206()()()0717fffA4032 B2016 C4034 D2017 答案：A3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知正数 满足 ，则 的最小值是 yx,xy4答案：1114若实数 满足条件 ，则 的最大值为 ,xy2103xy432zxy答案： 42315 中， ，点 在边 上， ，RtABC2MBC),(RACB， ，若 ，则 4|5|答案： 1916在 中， 分别为角 的对边， ，若 ，则ABC,abc,ABC2324acsin答案： 103三、解答题 （本大题共 6
5、小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本题满分 10 分）已知函数 )(12sin)2sin(3)( Rxxxf （I）求函数 的最小正周期；（）求使函数 取得最大值的 的集合)(f解：() f(x)= sin(2x )+1cos2(x ) 3 6 12= 2 sin2(x ) cos2(x )+132 12 12 12=2sin2(x ) +112 6= 2sin(2x ) +1 34 T= =22()当 f(x)取最大值时, sin(2x )=1, 3有 2x =2k+ 3 2即 x=k+ (kZ) 512所求 x 的集合为xR|x= k+ , (kZ).5
6、1218（本题满分 12 分）已知数列 满足 na11,3,nnaN（I）求数列 的通项公式；（）设以 为公比的等比数列 满足 ） ，求2nb2214logl1(nnbanN数列 的前 项和 lognnbS解：（I）由题知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，3na.2321,4na（）设等比数列 的首项为 ，则 ，依题有nb11nnb22122121214loglloglog4loglogn bnbn，即4 8，解得 ，故2121l4ogl8b21log,4b，12,lnnn.2 234nnS19（本题满分 12 分）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且ABCBCabc(3si
7、nco)(3sinco)4soBC（）求角 ；（）若 ，且 是锐角三角形，求实数 的取值范围iipAp5解：（1）由题意得 3sincos3sinco3sin4cosBCBCBC. 31tan,262Cp20（本题满分 12 分）设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列已知na ()nSNnb， ， ， 132435ab462ab（I）求 和 的通项公式；n（II）设数列 的前 n 项和为 ，S()nTN（i）求 ；（ii）求数列 的前 n 项和 nT)2(1bnW（I）解：设等比数列 的公比为 q.由 可得 .na132,a20q因为 ，可得 ，故 .0qn设等差数列
8、的公差为 d，由 ，可得 由 ，nb435b14.d5462ab可得 从而 故 136,1,.n所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为na12na.n（II） （i）由（I） ，有 ，故nnS.1112(1)(2) 2nnkk nT （ii）证明：因为，1 1212()(2)1)()k kkkk+b 6所以， .324321221()()()()nnnkkTb 21 （本小题满分 12 分）如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端O 和 A 到
9、该圆上任意一点的距离均不少于 80m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点C 位于点 O 正东方向 170m 处( OC 为河岸)，4tan3B（I）求新桥 BC 的长；（II）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：（I）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0, 60)， C(170, 0)，直线 BC 的斜率 k BC=tan BCO= .43又因为 AB BC，所以直线 AB 的斜率 k AB= .设点 B 的坐标为( a,b)，则 k BC= 0,17bak AB= 6034解得 a=80，b=120. 所以
10、 BC= .22(178)(10)5因此新桥 BC 的长是 150 m.（II）设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0 d60).由条件知，直线 BC 的方程为 ，即4(170)3yx43680xy由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0， d)到直线 BC 的距离是 r，即 .|3680|5dr因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,7所以 即 解得80(6)rd 6803805()d 1035d 故当 d=10 时, 最大，即圆面积最大. 35dr所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.22 （本小题满分 12 分）设 x和 n
11、是函数 21()ln()fxxa的两个极值点，其中 mn，aR（I）求 ()fmf的取值范围;（II）若 12e,求 ()fnm的最大值解:函数 ()fx的定义域为 (0,),21()1()xafxa. 依题意,方程 2a有两个不等的正根 ,n(其中 m).故 ()40a, 并且 2,1mn. 所以, 2()l()(2)ffnman 211) 3na故 ()fmf的取值范围是 (,3) ()解:当 12ae时, 21ae.若设 (1)nttm,则 22()()()ntm. 于是有 110tetetet 2 21()ln()(2)ln()()f ammn822111ln()ln()ln()2mmmntt构造函数 1()ln()2gt(其中 te),则221(1)()()0tgtt. 所以 t在 ,e上单调递减, 2ge. 故 ()fm的最大值是 12e
