1、2013届山西省太原五中高三 12月月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，若 ,则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： , 借助数轴分析 考点：集合的包含关系 点评：集合运算问题常借助数轴求解 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ， ，若有穷数列 （ ）的前 项和等于 ，则 等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 答案： B 试题分析： 为减函数 数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，前 n项和 令 得 考点：函数的导数及等比数列求和 点评：本题中由 得到 的单调性学生不易想到，是难点所在 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
2、 A B C D 答案： A 试题分析：直线 过定点 ，曲线 整理得，画出图像可得 考点：直线与圆的位置关系 点评：本题利用数形结合法能够容易的求出 k的范围 已知点 是 重心 ,若 , 则 的最小值是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： 考点：向量求模运算及均值不等式 点评：用到的主要公式 ， 设函数 ，且其图象关于直线 对称，则（ ） A 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 B 的最小正周期为 ，且在 上为减函数 C 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 D 的最小正周期为 ，且在 上为减函数 答案： B 试题分析：由题意可知 ，代入得 ， 在 上是减函数 考点：三角函数性质：周
3、期性单调性 点评： 设函数 定义在实数集 R上， ，且当 时 = ，则有 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： 的对称轴为 ， 又当时 = ， 为增函数 时 为减函数考点：函数单调性，对称性 点评：此题中 得到对称轴是突破点 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知直观图上半部分为半球，半径为 2，下半部分为长方体，三边为 2,2,3所以表面积为 考点：三视图及几何体表面积 点评：首先将三视图还原出直观图，在求其面积体积等 函数 , ，则 的图象只可能是 ( )答案： C 试题分析： 是偶函数可知图像关于 y轴对称，
4、当 x取非常大的值时考点：函数性质及图像 点评：通过函数性质判定函数图象 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1， E、 F分别是平面 A1B1C1D1和 ADD1A1的中心，则 EF 和 CD所成的角是 ( ) A 60 B 45 C 30 D 90 答案： B 试题分析：本题利用空间向量来求异面直线所成角，首先建立以 D为原点的坐标系，进而写出两直线的方向向量，求两方向向量的夹角，从而确定直线所成角 考点：异面直线所成角 点评：向量在解决立体几何问题时将大量的思维代之以数据计算 有两条不同的直线 m， n与两个不同的平面 ， ，下列命题正确的是 ( ) A m ， n ，且 ，则 m
5、 n B m ， n ，且 ，则 m n C m ， n ，且 ，则 m n D m ， n ，且 ，则 m n 答案： D 试题分析： ， 在 内存在直线 考点：空间线面的位置关系 点评：题目考查的是空间线面位置关系的判定和性质，难度不大，要求学生熟记掌握 设 是等差数列， ，则这个数列的前 5项和等于（ ） A 12 B 13 C 15 D 18 答案： C 试题分析： 考点：等差数列性质及求和 点评：等差数列 中，若 则 已知 p：直线 a与平面 内无数条直线垂直， q：直线 a与平面 垂直，则 p是 q的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
6、答案： B 试题分析： q：直线 a与平面 垂直成立可得到 p：直线 a与平面 内无数条直线垂直成立，反之是不正确的，所以 p是 q的必要不充分条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 填空题 已知 是数列 的前 项和 ,向量 , ,且满足 ,则 答案： 试题分析： ，化简得 ， 时 ， 时是等比数列，首项为 2，公比为 2 考点：向量坐标运算及数列求通项求和 点评：由数列的前 n项和求通项是数列中常考的知识点之一，注意分两种情况考虑 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 答案： 试题分析：在底面 中 ,取 边中
7、点 M, 取 边中点 N，连接 MN 并取其中点 O，则 O 到三棱锥各顶点的距离相等，O 为球心， 考点：三棱锥外接球 点评：此题的关键点在于找到球心的位置 已知 为第二象限角， ，则 答案： 试题分析： 为第二象限角， ，考点：同角间三角函数关系式 点评：由角的范围确定三角函数值的正负 直线 被圆 截得的弦长等于 。 答案： 试题分析：圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，所以弦长的一半为 1，弦长为 2 考点：直线和圆的位置关系 点评：直线和圆相交的问题中，圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离三者间构成一个直角三角形 解答题 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知
8、极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 处，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单位相同圆 的参数方程为 ( 为参数 ),点 的极坐标为 . （ 1）化圆 的 参数方程为极坐标方程； （ 2）若点 是圆 上的任意一点 , 求 , 两点间距离的最小值 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ 1）圆 C的直角坐标方程为 ，展开得化为极坐标方程 （ 2）点 Q 的直角坐标为 ，且点 在圆 内，由（ 1）知点 的直角坐标为 所以 ，所以 两点间距离的最小值为考点：极坐标方程及两点间距离最值 点评：第二小题中首先求圆心到定点的距离，再利用圆的对称性求解 （本小题满分 10分）选修 41: 几何证明选讲 如图，直线 经
9、过 O 上一点 ，且 ， ， O 交直线于 . （ 1）求证：直线 是 O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 3，求 的长 . 答案：（ ）见（ ） 5 试题分析：（ ）如图，连接 OC， OA=OB， CA=CB， OC AB， AB是 O 的切线 （ ） ED是直径， ECD=90， Rt BCD中， tan CED= , = ， AB是 O 的切线， BCD= E，又 CBD= EBC， BCD BEC, = = ， 设 BD=x,则 BC=2x， 又 BC2=BD BE， =x （ x 6）， 解得： x1=0,x2=2, BD=x 0, BD=2， OA=OB=BD OD=3 2=
10、5 考点：平面几何的证明计算 点评：应用圆中的知识点及直线与圆相切相交的线段长度关系推理计算 已知函数 ,其中常数 . （ 1）当 时，求函数 的极大值； （ 2）试讨论 在区间 上的单调性 ; （ 3）当 时 ,曲线 上总存在相异两点 , ,使得曲线 在点 处的切线互相平行 ,求 的取值范围 . 答案：（ ） （ 2）当 时 , 在 上单调递减 ,在上单调递增 . 当 时 , 在 上单调递减，当 时 , 在上单调递减 ,在 上单调递增（ 3） 试题分析： (1) 当 时 , ,当 或 时 , ;当 时 , , 在 和 上单调递减 ,在 上单调递增 ,故 极大值 = (2) 当 时 , 在 上
11、单调递减 ,在 上单调递增 . 当 时 , 在 上单调递减 当 时 , 在 上单调递减 ,在 上单调递增 . (3)由题意 ,可得 ( ) 既 对 恒成立 另 则 在 上单调递增， 故 ，从而 的取值范围是 。 考点：利用导数求函数最值，单调区间及导数的几何意义 点评：解本题的注意事项：求单调区间时需分情况讨论，在解决恒成立问题时常转化为求函数最值问题 如图，在长方体 中 ， 为 中点 . （ 1）求证： ； （ 2）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 若存在，求 的长；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1）见（ 2） 为线段 的中点， 试题分析： (1)连接 ， 确定一个平面。又 侧面是正方
12、形， ，又 平面 ， ， 平面 (2)设 ，连接 ，则四边形 为平行四边形。 因而 平面 。即 为线段 的中点， 考点：空间线面的平行垂直关系 点评：本题还可应用空间向量的方法求解，特别是第二小题求点位置 数列 满足 (1)证明 :数列 是等差数列 ; (2)求数列 的通项公式 ； (3)设 ，求数列 的前 项和 。 答案： (1)见 (2) (3) 试题分析： (1)取倒数得 : ,两边同乘以 得 : 所以数列 是以 为首项 ,以 1为公差的等差数列 . (2) 即 (3) 由题意知 : 利用错位相减得 : 利用错位相减得 : , 考点：定义证明等差数列，错位相减法数列求和 点评：错位相减法
13、数列求和是学生不易掌握的地方 在 中，角 的对边分别是 已知向量 ,且 . （ 1）求角 的大小； （ 2）若 面积的最大值。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ I） 因为 m/n.，所以， ，由正弦定理，得： ，所以即 ，所以， sin(A+B) 2sinCcosA 又 A B C ，所以， sinC 2sinCcosA，因为 0 C ，所以 sinC 0， 所以 cosA ，又 0 A ，所以 A 。 （ 2）由余弦定理，得： ，所以 16 ，所以 bc16，当且仅当 b c 4时，上式取 “ “，所以， ABC面积为 S4 ， 所以 ABC面积的最大值为 4 考点：向量运算，三角函
14、数化简及解三角形 点评：均值不等式求最值时注意验证等号成立条件 四棱锥 的侧面 是等边 三角形， 平面 ， 平面， ， 是棱 的中点 (1)求证： 平面 ； (2)求四棱锥 的体积 答案： (1)见 (2) 试题分析： (1)取 AC 中点 M，连结 FM、 BM， F是 AD中点， FM DC，且 FM DC 1， EB 平面 ABC， DC 平面 ABC， EB DC， FM EB. 又 EB 1， FM EB， 四边形 BEFM是平行四边形， EF BM， EF 平面 ABC， BM 平面 ABC， EF 平面 ABC. (2)取 BC 中点 N，连结 AN， AB AC， AN BC，
15、 EB 平面 ABC， AN EB， BC 与 EB是底面 BCDE内的相交直线， AN 平面 BCDE， 由 (1)得，底面 BCDE为直角梯形， S 梯形 BCDE 3， 在等边 ABC中， BC 2， AN ， V 棱锥 A-BCDE S 梯形 BCDE AN . 考点：空间线面平行的判定定理及锥体体积公式 点评：题目较简单，学生易得分 （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ 1）解不等式 ； （ 2）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围 答案：（ ） （ ） 试题分析： (1)原不等式等价于 或 或 因此不等式的解集为 （ 2）由于 的定义域为 ,则 在 上无解 .又 ,即 的最小值为 2,所以 ,即考点：绝对值不等式解法及绝对值函数求最值 点评：绝对值不等式求解分情况去掉绝对值符号
