1、1考查角度 2 椭圆的标准方程与几何性质分类透析一 椭圆的定义及其应用例 1 如图,已知椭圆的方程为 + =1,若点 P在第二象限,且 PF1F2=120,则 PF1F2x24y23的面积为 . 解析 由已知得 a=2,b= ,所以 c= =1,F1F2=2c=2.3 a2-b2在 PF1F2中,由余弦定理得P =P +F1 -2PF1F1F2cos 120,F22 F21 F22即 P =P +4+2PF1. F22 F21由椭圆定义,得 PF1+PF2=4,即 PF2=4-PF1. 将 代入 ,得 PF1= .65所以 = PF1F1F2sin 120S PF1F212= 2 = ,12
2、65 32 335即 PF1F2的面积为 .335答案335方法技巧 在涉及椭圆焦点的 PF1F2中,由椭圆的定义及余弦定理可得到关于 PF1,PF2的方程组,消去 PF2可求得 PF1.分类透析二 椭圆的标准方程及求解例 2 中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x轴上,焦距为 4,离心率为 ,则椭圆的方程为( ).22A. + =1B. + =1x216y212 x212y28C. + =1D. + =1x212y24 x28y242解析 由题意知,2 c=4,则 c=2.又 e= = ,则 a=2 ,故 b=2,ca 22 2所以椭圆的方程为 + =1.x28y24答案 D方法技巧 本题通过椭圆
3、的简单几何性质确定其标准方程,解决此类问题时,一般先确定其焦点位置,然后建立或寻找 a,b,c的等量关系,最后确定这三个数的值 .分类透析三 椭圆的几何性质及应用例 3 若点( x,y)在 + =1(b2)上运动,则 x2+4y的最大值为 . x24y2b2解析 + =1(b2),x24y2b2x 2=4 0,即 -b y b.(1-y2b2)x 2+4y=4 +4y=- +4y+4=- +4+b2.(1-y2b2) 4y2b2 4b2(y-b22)2b 2, b.b22 当 y=b时, x2+4y取得最大值,最大值为 4b.答案 4b方法技巧 此类最值问题常用函数思想进行解决 .很多与圆锥曲
4、线有关的问题中的各个量在运动变化时,都是相互联系、相互制约的,它们之间构成函数关系 .这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路,会有很好的效果 .1.(2016年全国 卷,文 12改编)已知 O为坐标原点, F是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点,x2a2y2b2A、 B分别为 C的左、右顶点 .P为 C上一点,且 PF x轴 .直线 BP交 y轴于点 M, =2 ,则BMMPC的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 23 34解析 根据三角形相似,得 BMO BPF,故 = = = =2,e= = ,故选 B.BMMP|MB|MP|OB|OF|ac ca12答案 B32.(2
5、018年全国 卷,理 12改编)已知 F1、 F2分别是椭圆 C: + =1(00,过 P作 x轴的垂线并交于点 H,易知AOQ AHP,所以 =2= = ,得 x0=1.AQQP |AO|OH|2x0又因为 = ,所以得 y0= ,又因为点 P在椭圆上,所以 + =1,解得 b= .y0x0+212 32 14(32)2b2 3(法二)由题意知, A(-2,0),Q(0,1).因为 =2 ,所以 P ,代入椭圆方程得 + =1,解AQQP (1,32) 1494b2得 b2=3,则 b= ,故选 B.3答案 B3.(2018年浙江卷,17 改编)已知点 F1(-c,0)、 F2(c,0)(c
6、0)分别是椭圆 + =1(ab0)的左、x2a2y2b2右焦点,点 P是这个椭圆上位于 x轴上方的点,点 G是 PF1F2的外心,若存在实数 ,使得+ + =0,则当 PF1F2的面积为 8时, a的最小值为 . GF1GF2 GP解析 因为点 G是 PF1F2的外心,所以点 G在 y轴的正半轴上,又 + + =0,则GF1GF2 GP=- ( + )=- ,所以 P,G,O三点共线,即 P位于上顶点,则 PF1F2的面积GP1 GF1GF2 2 GOS= b2c=bc=8.由 a2=b2+c22 bc=16,得 a4,当且仅当 b=c=2 时取等号,所以 a的最12 2小值为 4.答案 41
7、.(山西省榆社中学 2018届高三诊断性模拟考试)若椭圆 + =1上一点到两焦点的距离之和x24y2m为 m-3,则椭圆的离心率为( ).A. B. 或53 53 217C. D. 或217 37 594解析 由题意知,2 a=m-30,即 m3,若 a2=4,即 a=2,则 m-3=4,m=74,不合题意,因此 a2=m,即a= ,则 2 =m-3,解得 m=9,即 a=3,c= = ,所以椭圆的离心率 e= .故选 A.m m m-4 553答案 A2.(山东省枣庄市 2018届高三第二次模拟考试)设 F1,F2分别是椭圆 C: + =1的两个焦点,x2my22若 C上存在点 M满足 F1
8、MF2=120,则实数 m的取值范围是( ).A. 8, + )B.(0,18, + )(0,12C. 4, + )D.(0,14, + )(0,12解析 由椭圆的性质可知,当点 M在短轴的端点时,此时 F1MF2最大 .如图,要使得椭圆 C上存在点 M满足 F1MF2=120,则 F1M0F2120,即 OM0F260 .当 m2时, = =cos OM0F2cos 60 = ,即 ,解得 m8;|OM0|M0F2|ba 12 2m 12当 0b0)的左x2a2y2b2焦点为 F1(-2,0),过点 F1作倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2=b2相交的弦长为 b,则椭圆的3标准方程为( )
9、.A. + =1 B. + =1y28x24 x28y24C. + =1D. + =1y216x212 x216y212解析 由左焦点为 F1(-2,0),可得 c=2,即 a2-b2=4.由题意知,直线的方程为 y= (x+2),33圆心(0,0)到直线的距离 d= =1,233+9则 2 = b,解得 b=2,a=2 ,b2-1 3 25故椭圆的标准方程为 + =1,故选 B.x28y24答案 B4.(四川省广元市 2018届高三第二次高考适应性统考)如图,已知椭圆 C1: +y2=1(m1),双曲x2m线 C2: - =1(a0,b0)的离心率 e= ,若以 C1的长轴为直径的圆与 C2
10、的一条渐近线交于 A,Bx2a2y2b2 5两点,且 C1与 C2的渐近线的两个交点将线段 AB三等分,则 m=( ).A. B.17 C. D.1117 11解析 因为双曲线的离心率 = ,所以 =2,双曲线渐近线为 y=2x.代入椭圆方程5 1+b2a2 ba得 x2= ,y2=(2x)2= ,故 C1与 C2的渐近线的两个交点弦长为 2 =2 ,依m1+4m 4m1+4m x2+y2 5m1+4m题意可知 2 = 2 ,解得 m=11.5m1+4m13 m答案 D5.(安徽省黄山市 2018届高三一模检测)已知椭圆和双曲线有共同焦点 F1,F2,P是它们的一个交点,且 F1PF2= ,记
11、椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 的最大值为( ).3 1e1e2A. B. C.2 D.3233 433解析 设 F1PF2= ,|PF1|=m,|PF2|=n,椭圆的半长轴长为 a1,双曲线的半实轴长为 a2,两条曲线的焦距为 2c,结合题意有 m+n=2a1,|m-n|=2a2,两式平方相加可得 m2+n2=2( + ),a21a22两式平方作差可得 mn= - .a21a22由余弦定理得 4c2=m2+n2-2mncos ,则 4c2=2( + )-2( - )cos ,2c2=(1-cos ) +(1+cos ) ,a21a22 a21a22 a21 a22即 1= + ,
12、结合二倍角公式有 + =1.1-cos2e21 1+cos2e22 sin22e21 cos22e22已知 = ,则有 + =1,3 14e2134e226即 1= + 2 = ,14e2134e22 14e2134e22 32 1e1e2则 ,当且仅当 =2, = 时等号成立,1e1e2 233 1e21 1e2223故 的最大值为 ,选 A.1e1e2 233答案 A6.(安徽省马鞍山市 2018届高三第二次教学质量监测)已知 M,N为椭圆 + =1(ab0)上关x2a2y2b2于长轴对称的两点, A、 B分别为椭圆的左、右顶点,设 k1,k2分别为直线 MA,NB的斜率,则|k1+4k2
13、|的最小值为( ).A. B. C. D.2ba 3ba 4ba 5ba解析 设 M(x0,y0),N(x0,-y0),由题意 A(-a,0),B(a,0),k 1= ,k2= ,y0x0+a -y0x0-a|k 1+4k2|= = ,|y0x0+a+ -4y0x0-a|y0x0+a+ 4y0-x0+a|k 1+4k2|= 2 =4 ,|y0x0+a+ 4y0-x0+a| y0x0+a4y0-x0+a y20a2-x20由点 M在椭圆上,得 = (a2- ),y20b2a2 x20所以 4 =4 = ,y20a2-x20 b2a2(a2-x20)a2-x20 4ba故 |k1+4k2| .4b
14、a答案 C7.(云南省昆明市 2018届高三教学质量检查第二次统考)已知 F是椭圆 E: + =1(ab0)的x2a2y2b2左焦点,经过原点的直线 l与椭圆 E交于 P,Q两点,若 |PF|=2|QF|,且 PFQ=120,则椭圆 E的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 33 22解析 在 PQF中,设 |PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为 G,由椭圆的对称性,知PFQG是平行四边形,所以在 PGF中,由余弦定理得 GF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为 PF+QF=2a=3t,所以 t= a,所以 e= ,选 C.23 337答案
15、 C8.(江西省南昌市 2018届高三第一次模拟考试)已知椭圆 E: + =1,O为坐标原点, A,B是椭x224y212圆上两点, OA,OB的斜率存在并分别记为 kOA,kOB,且 kOAkOB=- ,则 + 的最小值为( ).12 1|OA| 1|OB|A. B. C. D.26 13 23 22解析 由均值不等式的结论得 + 2 ,1|OA| 1|OB| 1|OA|1|OB|当且仅当 = ,即 |OA|=|OB|时等号成立,1|OA| 1|OB|结合椭圆的对称性可知,此时点 A,B关于 y轴对称 .不妨设直线 OA的方程为 y=kx(k0),则直线 OB的方程为 y=-kx,据此可得
16、-k2=- ,k= ,12 22联立方程 可得y= 22x,x224+y212=1 x2=12,y2=6,则 |OA|=|OB|= =3 ,12+6 2此时 = = .(1|OA|+ 1|OB|)min232 23故选 C.答案 C9.(广西 2018届高三下学期第二次模拟试题)设 D为椭圆 x2+ =1上任意一点, A(0,-2),y25B(0,2),延长 AD至点 P,使得 |PD|=|BD|,则点 P的轨迹方程为( ).A.x2+(y-2)2=20 B.x2+(y+2)2=20C.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5解析 D 为椭圆 x2+ =1上任意一点,且 A,B为焦点
17、, |DA|+|DB|= 2a=2 .又y25 5|PD|=|BD|,且点 P,D,A三点共线, |PA|=|PD|+|DA|= 2 ,所以点 P的轨迹方程为 x2+(y+2)52=20.答案 B810.(上海市崇明区 2018届高三 4月模拟考试(二模)已知椭圆 +y2=1(a0)的焦点分别为x2a2F1,F2,抛物线 y2=2x的焦点为 F,若 =3 ,则 a= . F1F FF2解析 由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为 F .(12,0)设椭圆的焦点坐标分别为 F1(-c,0),F2(c,0),则 = , = .F1F(12+c,0)FF2(c-12,0)由题意得 =3 ,(12+c,0
18、) (c-12,0)则 +c=3 ,12 (c-12)可得 c=1,则 a= = .b2+c2 2答案 211.(河北省衡水中学 2018届高三上学期八模考试)已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分x2a2y2b2别为 F1(-c,0)、 F2(c,0),若椭圆上存在点 P使 = 成立,则该椭圆的离心率的asinPF1F2 csinPF2F1取值范围为 . 解析 在 PF1F2中,由正弦定理得 = ,则由已知得 = ,|PF2|sinPF1F2 |PF1|sinPF2F1 |PF2|a |PF1|c即 a|PF1|=c|PF2|.设点 P(x0,y0),由焦点半径公式,得 |PF1|=a+
19、ex0,|PF2|=a-ex0,则 a(a+ex0)=c(a-ex0),解得 x0= = .由椭圆的几何性质知 -a-a(c-a)e(a+c)a(e-1)e(1+e) a(e-1)e(1+e) a(e-1)e(1+e)a,整理得 e2+2e-10,解得 e -1.2 2又 e(0,1),所以椭圆的离心率 e( -1,1).2答案 ( -1,1)212.(新疆乌鲁木齐市 2018届高三第二次质量监测)已知 F是椭圆 C的一个焦点, B是短轴的一个端点,线段 BF的延长线交椭圆 C于点 D,且 +2 =0,则椭圆 C的离心率为 . BFDF解析 设 D(x0,y0),F(c,0),椭圆方程为 +
20、=1(a0,b0), +2 =0, (c,-b)+2(c-x0,-x2a2y2b2 BFDFy0)=0,解得 x0= c,y0=- b.32 12将 D 代入到椭圆方程可得 + =1,解得 e= .(32c,-12b) (32c)2a2 (-12b)2b2 339答案3313.(河北省衡水中学 2018届高三上学期八模考试)若椭圆 C的方程为 + =1,焦点在 x轴上,与x25y2m直线 y=kx+1有公共点,则实数 m的取值范围为 . 解析 由椭圆 C的方程及焦点在 x轴上,知 0 0,所以直线与椭圆相交,于是 y1+y2=- , 24k2+1y1y2= , 1-8k24k2+1由 得, y
21、2= ,y1=- ,54k2+1 74k2+1代入 整理得 8k4+k2-9=0,解得 k2=1,即 k=1,所以直线 l的方程为 y=x-1或 y=-x-1.答案 y=x-1或 y=-x-115.(江西上饶市 2018届高三上学期第一次模拟考试)已知斜率为 k的直线与椭圆 + =1交x24y23于 A,B两点,弦 AB的中垂线交 x轴于点 P(x0,0),则实数 x0的取值范围是 . 10解析 设直线的方程为 y=kx+m,联立 化简得(3 +4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,3x2+4y2=12,y=kx+m, 所以 = 64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,故 4k2
22、-m2+30,由题意得x1+x2= -8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,所以 y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=2m- = ,8k2m3+4k2 6m3+4k2所以 = , = ,x1+x22 -4km3+4k2y1+y22 3m3+4k2所以线段 AB的中点坐标为 ,(-4km3+4k2, 3m3+4k2)所以线段 AB的垂直平分线方程为 y- =- ,3m3+4k2 1k(x+ 4km3+4k2)把点 P(x0,0)代入上面的方程得 x0(3+4k2)=-km,所以 m= ,代入 4k2-m2+30,x0(3+4k2)-k整理得 = ,x20k24k2+3 14+3k214故 - x0 ,故所求实数 x0的取值范围为 .12 12 (-12,12)答案 (-12,12)
