1、1考查角度 4 抛物线的标准方程与几何性质分类透析一 抛物线的定义与应用例 1 在平面直角坐标系 xOy中,设点 F ,直线 l:x=- ,点 P在直线 l上移动, R是线段 PF与 y轴的交(12,0) 12点, RQ FP,PQ l,则动点 Q的轨迹方程为 . 解析 由题意知,点 R是线段 FP的中点,且 RQ FP,RQ 是线段 FP的垂直平分线 .|PQ| 是点 Q到直线 l的距离,又点 Q在线段 FP的垂直平分线上,|PQ|=|QF|. 结合抛物线的定义,可知动点 Q的轨迹是以 F为焦点, l为准线的抛物线,其方程为 y2=2x.答案 y2=2x方法技巧 结合图形,借助垂直平分线的性
2、质进行适当的转化,得到该动点满足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条件的应用 .分类透析二 抛物线的标准方程例 2 已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于 A,B两点,若线段 AB的中点的纵坐标为 2,则抛物线的方程为( ).A.y2=4x B.y2=-4xC.x2=4y D.x2=-4y解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为 F ,所以过焦点且斜率为 1的直线方程为(p2,0)y=x- ,即 x=y+ ,将其代入抛物线方程得 y2-2py-p2=0,所以 =p=2,p2 p2 y1+y22所以抛物线的方程为 y
3、2=4x,故选 A.答案 A方法技巧 确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解 .2分类透析三 抛物线的几何性质与应用例 3 如图, AB是抛物线 y2=2px(p0)过焦点 F的一条弦 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点 M(x0,y0),过 A,M,B分别向抛物线的准线 l作垂线,垂足分别为 A1,M1,B1,则 + 的值为( ).1|FA| 1|FB|A. B.p C. D.2pp2 2p解析 当直线 AB的斜率不存在,即与 x轴垂直时, |FA|=|FB|=p, + = + = .1|FA| 1|FB|1p1p2p当直
4、线 AB的斜率存在时,设直线 AB的方程为 y=k ,代入 y2=2px中,得 =2px,即 k2x2-(x-p2) (kx-kp2)2p(k2+2)x+ =0.k2p24设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB= ,xAxB= .p(k2+2)k2 p24|FA|=x A+ ,|FB|=xB+ ,p2 p2|FA|+|FB|=x A+xB+p,|FA| |FB|=(xA+p2)(xB+p2)=xAxB+ (xA+xB)+ = (xA+xB+p).p2 p24p2|FA|+|FB|=|FA| |FB| ,即 + = ,选 C.2p 1|FA| 1|FB|2p答案 C方法技巧 该题
5、给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不可忽视 AB x轴的情况 .例 4 设 F为抛物线 y2=4x的焦点, A,B,C为该抛物线上的三点,若 + + =0,则 | |+| |+| |= .FAFBFC FA FB FC解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知, F(1,0),p=2.因为 + + =0,FAFBFC所以( x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即 x1+x2+x3=3,3所以 | |+| |+| |=x1+x2+x3+ p=6.FA FB FC32答案 6方法技巧 对于抛物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运
6、算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用 .1.(2018年全国 卷,理 8改编)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,过点( -2,0)且斜率为 1的直线与 C交于M,N两点,若 =4,则 p= . FMFN解析 由题意得直线的方程为 y=x+2,设点 M(x1,y1),N(x2,y2),则联立方程组 消去 y并整理,y=x+2,y2=2px,得 x2+(4-2p)x+4=0,则 x1x2=4,x1+x2=2p-4.因为 = , = ,FM(x1-p2,y1)FN(x2-p2,y2)所以 = FMFN(x1-p2,y1) (x2-p2,y2)= +y1y2(x1-p2) (x2
7、-p2)=2x1x2+ (x1+x2)+ +4=4,(2-p2) p24解得 p=8(其中 p=0舍去),故 p的值为 8.答案 82.(2017年全国 卷,理 10改编)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,过点 F作互相垂直的两条直线 AB,CD与抛物线分别相交于点 A,B以及 C,D,若 + =1,则四边形 ACBD的面积取得最小值时,直线 AB方程为( ).1|AF| 1|BF|A.y=(x-1) B.y=x-1C.y=1-x D.y=2x-1解析 由抛物线的性质可知 + = ,1|AF| 1|BF|2p又 + =1,p= 2,即 y2=4x.1|AF| 1|BF|设直线 AB
8、的斜率为 k(k0),则直线 CD的斜率为 - .1k4 直线 AB的方程为 y=k(x-1),联立 消去 y,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.y=k(x-1),y2=4x, 从而 xA+xB=2+ ,xAxB=1.4k2由弦长公式得 |AB|=4+ ,4k2以 - 换 k得 |CD|=4+4k2,1k故四边形 ACBD的面积为 |AB|CD|= (4+4k2)=8 32(当 k2=1时取等号),即面12 12(4+4k2) (2+k2+1k2)积的最小值为 32,此时直线 AB的方程为 y=(x-1).答案 A3.(2018年全国 卷,理 16改编)已知点 M(0,2)和抛物线 C
9、:y2=4x,过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于A,B两点 .若 =4,则 k= . MAMB解析 抛物线 C:y2=4x的焦点为 F(1,0),当直线斜率不存在时,易知 A(1,2),B(1,-2),则 =1,不合题MAMB意 .当直线 AB的斜率存在时,设直线 AB的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组 整y2=4x,y=k(x-1),理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则 x1+x2= =2+ ,x1x2=1,2k2+4k2 4k2y 1+y2=k(x1+x2)-2k= ,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2
10、)+1=-4.4k又 =4, =(x1,y1-2)(x2,y2-2)=4,解得 k=- .MAMB MAMB83答案 -831.(2018湖北黄冈中学月考试题)抛物线 x2=4y的焦点坐标是( ).A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)解析 x 2=4y=2py,p= 2, 焦点坐标为 ,即为(0,1),故选 B.(0,p2)答案 B2.(河北省衡水中学 2018届高三数学三轮复习系列七)拋物线 y=2x2的准线方程是( ).A.x= B.x=-12 125C.y= D.y=-18 18解析 抛物线 y=2x2可化为 x2= y,焦点在 y轴上,2 p= , = , 抛
11、物线 y=2x2的准线方程是 y=- ,故选 D.12 12 p218 18答案 D3.(辽宁省凌源市 2018届高三毕业班一模考试试题)已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,点 A(0,- ).若线段 FA3与抛物线 C相交于点 M,则 |MF|=( ).A. B. C. D.43 53 23 33解析 由题意得线段 AF:y= x- (0 x1) .联立 解得 M .又 =1,所以3 3 y= 3x- 3,y2=4x, (13,-233) p2|MF|= +1= ,故选 A.13 43答案 A4.(东北三省三校 2018届高三第二次模拟考试试题)过抛物线 C:y2=4x的焦点 F的直线交
12、抛物线 C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且 x1+x2= ,则弦 AB的长为( ).43A. B.4 C. D.163 103 83解析 由抛物线的方程可得 p=2.根据抛物线的焦点弦公式 x1+x2+p,得弦 AB的长为 +2= .故选 C.43 103答案 C5.(河北省廊坊市第八高级中学 2018届高三模拟试题)若过抛物线 y= x2焦点的直线与抛物线交于 A,B两点14(不重合),则 (O为坐标原点)的值是( ).OAOBA. B.- C.3 D.-334 34解析 由题意知抛物线的方程为 x2=4y,焦点为 F(0,1).设 AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x
13、2,y2),由得 x2-4kx-4=0,所以 x1x2=-4,y1y2= (x1x2)2=1,故 =x1x2+y1y2=-3,选 D.y=kx+1,x2=4y, 116 OAOB答案 D6.(湖北省黄冈中学 2018届高三 5月第三次模拟考试)已知点 P(-1,4),过点 P恰好存在两条直线与抛物线 C有且只有一个公共点,则抛物线 C的标准方程为( ).A.x2= y B.x2=4y或 y2=-16x14C.y2=-16x D.x2= y或 y2=-16x14解析 过点 P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点,6 点 P一定在抛物线 C上,即两条直线分别为一条切线,一条与抛物
14、线的对称轴平行的直线 .若抛物线的焦点在 x轴上,设抛物线 C的方程为 y2=2px,则将点 P(-1,4)代入方程可得 2p=-16, 抛物线 C的标准方程为 y2=-16x;若抛物线的焦点在 y轴上,设抛物线 C的方程为 x2=2py,则将点 P(-1,4)代入方程可得 2p= ,14 抛物线 C的标准方程为 x2= y.14综上所述,选 D.答案 D7.(山东省 2018年普通高校招生(春季)考试)已知抛物线 x2=ay(a0)的焦点为 F,准线为 l,该抛物线上的点M到 x轴的距离为 5,且 |MF|=7,则焦点 F到准线 l的距离是( ).A.2 B.3 C.4 D.5解析 因为 |
15、MF|=7,点 M到 x轴的距离为 5,所以 =7-5,故 |a|=8,|a|4因此焦点 F到准线 l的距离是 =4,故选 C.|a|2答案 C8.(山西省 2018年高考考前适应性测试)已知抛物线 C:y2=x,过点 P(a,0)的直线与 C相交于 A,B两点, O为坐标原点,若 0)的焦点 F且斜率为 1的直线交抛物线于 A,B两点, |AF|BF|=8,则 p的值为( ).A.4 B. C.1 D.2127解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 抛物线 y2=2px的焦点 F ,准线方程为 x=- , 直线 AB的方程为 y=x- ,代(p2,0) p2 p2入 y2=2px可得
16、 x2-3px+ =0,x 1+x2=3p,x1x2= .又p24 p24|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,|AF| |BF|= =x1x2+ (x1+x2)+ = + + =2p2=8,解得 p=2,故选 D.p2 p2 (x1+p2)(x2+p2) p2 p24p243p22p24答案 D10.(广西梧州市 2018届高三 3月适应性测试(二模)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,过点 F的直线与抛物线交于点 M,N,与 y轴交于点(0, ),与 l交于点 P,点 M在线段 PF上,若 |PM|=2|MF|,则 |MN|=( ).3A. B. C. D.94
17、254 83 163解析 由题意可得 M ,2p = ,p=2,直线 MN的方程为 y=- (x-1).由 得 M(p6,233) p6129 3 y= - 3(x-1),y2=4x, ,N(3,-2 ),|MN|= ,故选 D.(13,233) 3 163答案 D11.(贵州省黔东南州 2018届高三第一次模拟考试)过抛物线 C:y2=4x的焦点 F的直线交抛物线 C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,以线段 AB为直径的圆的圆心为 O1,半径为 r.点 O1到 C的准线 l的距离与 r之积为 25,则r(x1+x2)=( ).A.40 B.30 C.25 D.20解析 由抛物线的性
18、质知,点 O1到 C的准线 l的距离为 |AB|=r.12依题意得 r2=25,解得 r=5.又点 O1到 C的准线 l的距离为 (x1+x2+2)=r=5,则有 x1+x2=8,故 r(x1+x2)=40,12故选 A.答案 A12.(山西省太原市 2018届高三 3月模拟考试(一)试题)抛物线 y2=8x的焦点为 F,设 A,B是抛物线上的两个动点, |AF|+|BF|= |AB|,则 AFB的最大值为( ).233A. B. C. D.3 34 56 23解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 抛物线 y2=8x的焦点为 F,F (2,0).|AF|+|BF|= |AB|,233
19、8 由余弦定理得cos AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=(|AF|+|BF|)2-2|AF|BF|-|AB|22|AF|BF|= -143|AB|2-|AB|22|AF|BF|= -1.13|AB|22|AF|BF|又 |AF|+|BF|= |AB|2 ,233 |AF|BF|AF| |BF| |AB|2,当且仅当 |AF|=|BF|时取等号 .13 cos AFB -1=- ,而 00)上的点 P 到焦点 F的距离为 2,则(32,y0)a= . 解析 抛物线的标准方程为 y2=ax,焦点坐标为 ,准线方程为 x=- .(a4,0) a4由抛物线的焦半径公式 |P
20、F|=x0+ = + =2,解得 a=2.p232a4答案 214.(2018年天津市南开中学高三模拟考试试题)已知抛物线的方程为 y2=2px,其中 p0,焦点为 F,准线为 l,过抛物线上一点 M作 l的垂线,垂足为 E.若 |EF|=|MF|,点 M的横坐标为 3,则 p= . 解析 由题意知,抛物线 y2=2px的焦点为 F ,准线 l的方程为 x=- .(p2,0) p2由抛物线的定义可得 |ME|=|MF|.又 |EF|=|MF|,所以 MEF为等边三角形 .设点 M的坐标为(3, m),则点 E的坐标为 .(-p2,m)把点 M的坐标代入抛物线的方程可得 m2=6p,再由 |EF
21、|=|MF|,可得 p2+m2= ,(3+p2)2即 p2+6p=9+ +3p,p249解得 p=2或 p=-6(舍去) .答案 215.(陕西省西安市长安区第一中学 2018届高三上学期第八次质量检测)如图,点 F是抛物线 y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线 y2=8x及圆( x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且 AB总是平行于 x轴,则 FAB的周长的取值范围是 . 解析 抛物线的准线方程为 x=-2,焦点为 F(2,0),由抛物线的定义可得 |AF|=xA+2.又圆( x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为 4, FAB的周长 =|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB.由抛物线 y2=8x及圆( x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为 2,x B(2,6), FAB的周长为 6+xB(8,12) .答案 (8,12)
