1、1第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形(第 2 课时）教学目标1.理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算 .2 .了解菱形的现实应用和常用判别条件 . 过程与方法1 .从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系 .2 .让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力 .情感、态度与价值观1 .让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯 .2 .通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会
2、类比的思想方法的作用 .重点与难点【重点】 菱形的定义和判定定理的运用 .【难点】 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算 .教学准备【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题 .【学生准备】 复习菱形的定义及其性质 .新课导入:1 .菱形有哪些性质?其中哪些是平行四边形所没有的?2学生思考、交流 .在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理 .图形 边 角 对角线平行四边形 对边平行且相等 对角相等 互相平分菱形四条边都相等,对边平行对角相等垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做
3、成一个四边形(如下图) .提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形 .学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形 .计算下列各题:(1)菱形周长为 20,一条对角线的长为 8,则另一条对角线的长为 . (2)菱形的两条对角线分别为 6,8,则这个菱形的面积为 ,边长为 . (3)菱形的一个内角为 120,一条较长的对角线的长为 10,则菱形的周长为 . (4)上面的计算中,用到了菱形的哪些特性?学生先独立完成,同桌交流,并检查 .3(1)由“菱形的四条边都相等”
4、得边长为 5,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的另一条对角线的长为 6.(2)由“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”得菱形的面积为 24,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的边长为 5.(3)由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理建立方程,计算可得菱形的边长为,周长为 .(4)上面的计算中,用到的菱形特性有:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直且平分;菱形的每一条对角线平分一组对角 .提问:如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?依据是什么?根据菱形的定义可知:一组邻边相等的平行四边形是菱形 .所以只要再有一组邻边相等的
5、条件即可 .追问:要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?1 .对角线互相垂直的平行四边形是菱形思路一提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗?学生思考:这个命题的条件是什么?结论是什么?先画出图形,写出已知和求证 .已知:在 ABCD 中,对角线 AC BD 于点 O,如图 .求证: ABCD 是菱形 .4小组讨论,交流:可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形,由平行四边形的性质得到 BO=DO,由 AOB= AOD=90及 AO=AO,得 AOB AOD,可得到 AB=AD(或根据线段垂直平分线的性质定理,得到 AB=AD),最后证得
6、ABCD 是菱形 .学生整理证明过程 .证明:四边形 ABCD 是平行四边形, OB=OD, AC BD, AB=AD, ABCD 是菱形 .通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .提示:此定理包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直 .用符号语言表述为:在 ABCD 中,对角线 AC BD, ABCD 是菱形 .思路二请指出下列命题的条件、结论及它的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由 .(1)菱形的对角线互相垂直;(2)菱形的四条边都相等 .师生交流、实验、猜想、证明 .5命题“菱形的对角线互相垂直”的条件是:四边形是
7、菱形,结论是:对角线互相垂直 .它的逆命题是:对角线互相垂直的四边形是菱形 .该逆命题是假命题 .如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC BD,显然它不是菱形 .追问:“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题,那么“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题,还是假命题?请说明理由 .学生再分析发现:“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题 .理由如下:已知:如图,在 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC BD.求证: ABCD 是菱形 .解析 要证明 ABCD 是菱形,只要证明有一组邻边相等即可 .证明:四边形 ABCD 是平行四边形, OA=OC(平行四边形的对角
8、线互相平分) .又 AC BD, BD 是线段 AC 的垂直平分线 . BA=BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) . ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) .教师总结:通过大家猜想、证明,我们得到了菱形的一个判定定理 .6定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .根据这个判定定理,以后要判定一个四边形是菱形,只需要满足两个条件:对角线互相垂直;平行四边形 .用符号语言表述为:在 ABCD 中,对角线 AC BD, ABCD 是菱形 .2 .四条边相等的四边形是菱形思路一已知线段 AC,分别以 A,C 为圆心,以大于 AC 的长为半径作弧,两条弧分别相交于点
9、 B,D,依次连接 A,B,C,D.所得四边形 ABCD 是菱形,你知道其中的道理吗?学生跟着老师一起画图,各抒己见 .一生介绍自己的想法:由作法知四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA,四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) . AB=AD,四边形 ABCD 是菱形(菱形的定义) .教师引导学生经过猜想、证明,得出菱形的一个判定定理 .定理:四条边相等的四边形是菱形 .用符号语言表述为:7四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA,四边形 ABCD 是菱形 .学生讨论,交流 .命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等
10、.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形 .该逆命题是真命题 .理由如下:已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA.求证:四边形 ABCD 是菱形 .解析 根据菱形的定义,只需证四边形 ABCD 是平行四边形即可 .证明: AB=BC=CD=DA,四边形 ABCD 的两组对边分别相等 .四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) . AB=AD,四边形 ABCD 是菱形(菱形的定义) .师:通过大家猜想、证明,我们又得到了菱形的一个判定定理 .定理:四条边相等的四边形是菱形 .用符号语言表述为:四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA,四边形 ABCD 是菱形 .8至此,我们得到了菱形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理 .以后同学们可以直接应用菱形的定义、定理来解决问题 .课堂小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 .(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形 .布置作业 【必做题】教材第 58 页练习第 1,2,3 题;教材第 60 页习题 18.2 第 6 题 .【选做题】教材第 61 页习题 18.2 第 10 题 .教学后记：
