1、1专题(二) 与解直角三角形有关的问题本专题包括解直角三角形中的坡度与坡角问题、仰角与俯角问题、方向角问题,主要考查解直角三角形的应用 .利用几何图形的特点,根据题意构建所需的直角三角形 .类型 1 坡度、坡角问题1.(黔东南州中考)如图,某校教学楼 AB 后方有一斜坡,已知斜坡 CD 的长为 12 米,坡角 为 60,根据有关部门的规定, 39时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡 CD 进行改造,在保持坡脚 C 不动的情况下,学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数,参考数据:sin 390 .63,cos 390 .78,tan 390
2、.81, 1 .41, 1 .73, 2 .24)2 3 5解:假设点 D 移到点 D的位置时,恰好 = 39,过点 D 作 DE AC 于点 E,作 DE AC 于点E.CD= 12 米, DCE=60,DE=CD sin 60=12 =6 米, CE=CDcos 60=12 =6 米 .32 3 12DE AC,DE AC,DD CE, 四边形 DEED是矩形,DE=DE= 6 米 .3 DCE=39,CE= 12 .8 米,DEtan39 630.812EE=CE-CE= 12.8-6=6.87 米 .答:学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 米才能保证教学楼的安全 .2.图 1 是太
3、阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能,玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好 .假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角( )确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直),请完成以下计算 .如图 2,AB BC,垂足为 B,EA AB,垂足为 A,CD AB,CD=10 cm,DE=120 cm,FG DE,垂足为G.(参考数据:sin 3750 0 .61,cos 37500 .79,tan 37500 .78)(1)若 = 3750,则 AB 的长约为 83.2 cm; (2)若 FG=30 cm, = 60,求 CF 的长 .
4、解:(2)延长 ED,BC,交于点 K,易知 K= = 60,在 Rt CDK 中, CK= cm,CDtanK=103在 Rt KGF 中, KF= cm,GFsinK=603则 CF=KF-KC= cm.603-103=5033类型 2 仰角、俯角问题3.(株洲中考)如图所示,一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P的俯角为 ,其中 tan = 2 ,无人机的飞行高度 AH 为 500 米,桥的长度为 1255 米 .3 3(1)求点 H 到桥左端点 P 的距离;(2)若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30,求这架无人机的长度 AB.3解
5、:(1)在 Rt AHP 中, AH= 500 米,tan APH=tan = =2 ,PH= 250 米 .3AHPH 3答:点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米 .(2)设 BC HQ 于点 C.在 Rt BCQ 中, BC=AH= 500 米, BQC=30,3CQ= =1500 米,BCtan30PQ= 1255 米, CP= 245 米,HP= 250 米, AB=HC= 250-245=5 米 .答:这架无人机的长度 AB 为 5 米 .4.(重庆中考)如图,小王在长江边某瞭望台 D 处,测得江面上的渔船 A 的俯角为 40,若DE=3 米, CE=2 米, CE 平行于江
6、面 AB,迎水坡 BC 的坡度 i=1 0.75,坡长 BC=10 米,求此时 AB的长 .(参考数据:sin 400 .64,cos 400 .77,tan 400 .84)解:延长 DE 交 AB 延长线于点 P,作 CQ AP 于点 Q,CE AP,DP AP, 四边形 CEPQ 为矩形,PQ=CE= 2,CQ=PE,i= , 设 CQ=4x,BQ=3x,CQBQ= 10.75=43由 BQ2+CQ2=BC2可得(3 x)2+(4x)2=102,解得 x=2 或 x=-2(舍),4则 PE=CQ=8,BQ=6,DP=DE+PE= 11,在 Rt ADP 中, AP= 13 .1,DPta
7、nA= 11tan40AB=AP-BQ-PQ= 13.1-6-2=5.1.答:此时 AB 的长为 5.1 米 .类型 3 方向角问题5.(恩施州中考)如图所示,为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离,小明在 A 处测得 C 在北偏东 30方向上,然后向正东方向前进 100 米至 B 处,测得此时 C 在北偏西 15方向上,求旗台与图书馆之间的距离 .(结果精确到 1 米,参考数据: 1 .41, 1 .73)2 3解:由题意知 MAC=30, NBC=15, BAC=60, ABC=75, C=45.过点 B 作 BE AC,垂足为 E.在 Rt AEB 中, BAC=60,AB=100
8、 米,AE=AB cos BAC=100cos 60=50 米,BE=ABsin BAC=100sin 60=100 =50 米 .32 3在 Rt CEB 中, C=45,BE=50 米,3CE=BE= 50 50 1.73=86.5 米 .3AC=AE+CE= 50+86.5=136.5137 米 .答:旗台与图书馆之间的距离约为 137 米 .56.(河南中考)如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时, B 船在 A 船的正南方向 5 海里处, A 船测得渔船 C 在其南偏东 45方向, B 船测得渔船 C 在其南
9、偏东 53方向,已知 A 船的航速为 30 海里 /小时, B船的航速为 25 海里 /小时,问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin 53 ,cos 53 ,tan 53 1 .41)45 35 43, 2解:作 CE AB 于点 E.在 Rt ACE 中, A=45,AE=EC ,设 AE=EC=x,则 BE=x-5.在 Rt BCE 中, tan 53= ,ECBE ,解得 x=20,AE=EC= 20,43= xx-5AC= 20 28 .2,BC= 25,2ECsin53A 船到 C 船的时间 = =0.94(小时), B 船到 C 船的时间 = =1(小时),AC30 BC25C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援 .
