1、111.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.离散型随机变量及其分布列1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用2018 天津,162017 天津,162016 天津,162015 天津,162.离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题2014 天津,16离散型随机变量的分布列与数学期望古典概型、互斥事件的概率加法分析解读 1.会
2、求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布的概念.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题的形式出现,分值约为 13 分,属于中高档题.破考点【考点集训】考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2015 重庆,17,13 分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个.(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;2(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.解析 (1)令 A 表示事件
3、“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 P(A)= .C12C13C15C31014(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,C38C310715 C12C28C310715P(X=2)= = .C22C18C310115综上知,X 的分布列为X 0 1 2P 715 715 115故 E(X)=0 +1 +2 = (个).715 715 115352.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中 PM2.5 浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017 年除夕 18 时和初一2 时
4、,国家环保部门对 8 个城市空气中 PM2.5 浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):除夕 18 时 PM2.5 浓度 初一 2 时 PM2.5 浓度北京 75 647天津 66 400石家庄 89 375廊坊 102 399太原 46 115上海 16 17南京 35 44杭州 131 39(1)求这 8 个城市除夕 18 时空气中 PM2.5 浓度的平均值;(2)环保部门发现:除夕 18 时到初一 2 时空气中 PM2.5 浓度上升不超过 100 的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市,浓度上升超过 100 的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上 8 个城市中随机选取 3 个城市组织专家进
5、行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望.3解析 (1)8 个城市除夕 18 时空气中 PM2.5 浓度的平均值为=70 微克/立方米.75+66+89+102+46+16+35+1318(2)8 个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州 4 个城市,随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,则 P(X=0)= = ,C04C34C38 114P(X=1)= = ,C14C24C38 614P(X=2)= = ,C24C14C38 614P(X=3)= = .C34C04C38 114所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 1
6、14 614 614 114X 的数学期望 EX=0 +1 +2 +3 = = .114 614 614 114211432考点二 离散型随机变量的均值与方差3.已知离散型随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 35 310 110则 X 的数学期望 E(X)=( )A. B.2 C. D.332 52答案 A 4.(2014 浙江,12,4 分)随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(=0)= ,E()=1,则 D()= .15答案 25炼技法【方法集训】方法 1 离散型随机变量分布列的求法1.某次有 600 人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定 85 分及其以上为优秀.4区间
7、75,80) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100人数 36 114 244 156 50(1)现用分层抽样的方法从这 600 人中抽取 20 人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(2)在(1)中抽取的 20 名学生中,要随机选取 2 名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为 X,求 X 的分布列与数学期望.解析 (1)设其中成绩为优秀的学生人数为 x,则 = ,解得 x=15.所以其中成绩为x20244+156+50600优秀的学生人数为 15.(2)依题意,随机变量 X 所有可能的取值为 0,1,2.P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)=
8、= .C25C220119 C15C115C2201538 C215C2202138所以 X 的分布列为X 0 1 2P 119 1538 2138所以数学期望 E(X)=0 +1 +2 = .119 1538 2138322.(2015 福建,16,13 分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小
9、王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,则 P(A)= = .56 45 3412(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3.P(X=1)= ,P(X=2)= = ,P(X=3)= 1= ,16 56 1516 56 45 23所以 X 的分布列为X 1 2 3P 16 16 235所以 E(X)=1 +2 +3 = .16 16 2352方法 2 求离散型随机变量 的期望与方差的方法3.(2018 浙江,7,4 分)设 0D( 2) C.E( 1)E( 2),D( 1)E( 2),D( 1)D( 2)答案 A
10、 2.(2018 课标,20,12 分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(00;当 p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.3.(2015 湖南,18,12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一
11、等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.解析 (1)记事件 A1=从甲箱中摸出的 1 个球是红球,A2=从乙箱中摸出的 1 个球是红球,B1=顾客抽奖 1 次获一等奖,B2=顾客抽奖 1 次获二等奖,C=顾客抽奖 1 次能获奖.由题意,得 A1与 A2相互独立,A 1 与 A2互斥,B 1与 B2互斥,且 B1=A1A2,B2=A1 + A2,C=B1+B2.A2 A1 A2A1因为 P(A1)= = ,P(A2)= = ,410
12、25 51012所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= = ,25 1215P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2)A2A1 A2 A1=P(A1)P( )+P( )P(A2)A2 A1=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)15= + = .25 (1-12)(1-25) 1212故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = .1512710(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ,所15以 XB .(3,15)于是 P(X=0)= = ,C03(15)0(
13、45)364125P(X=1)= = ,C13(15)1(45)248125P(X=2)= = ,C23(15)2(45)112125P(X=3)= = .C33(15)3(45)0 1125故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125X 的数学期望为 E(X)=3 = .1535C 组 教师专用题组考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2013 课标,19,12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验
14、;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 ,且各件产品是不12是优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.解析 (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产
15、品是16优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)(A 2B2),且 A1B1与 A2B2互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= + = .41611611612364(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且P(X=400)=1- - = ,4161161116P(X=500)= ,116P(X=800)= .14所以 X 的分布列为X 400 500 800P 1116 116 14EX=400 +500 +800 =506.25.1116 116 14思路分析 (1)设第一次
16、取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件全是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)(A 2B2)且 A1B1与 A2B2互斥,进而求解.(2)X 可能的取值为 400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.2.(2013 课标,19,12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,
17、如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品,以 X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将 T 表示为 X 的函数;(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;17(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X100,110),则取 X=105,且X=105 的概率等于需求量落入100,110)的频率),求 T 的数学期望.解析 (1)当 X100,130)时,T=500X-300(
18、130-X)=800X-39000,当 X130,150时,T=500130=65000.所以 T=800X-39000,100 Xp2,E( 1)E( 2) C.p 1p2,E( 1)E( 2) D.p1p2,E( 1)E( 2)答案 A 2.(2017 江苏,23,10 分)已知一个口袋中有 m 个白球,n 个黑球(m,nN *,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为 1,2,3,m+n 的抽屉内,其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉(k=1,2,3,m+n).1 2 3 m+n(1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 P;20(
19、2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是 X 的数学期望,证明:E(X) .n(m+n)(n-1)解析 本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 P= = .Cn-1m+n-1Cnm+n nm+n(2)随机变量 X 的概率分布为X 1n 1n+1 1n+2 1k 1m+nPCn-1n-1C nm+nCn-1nC nm+nCn-1n+1C nm+n Cn-1k-1C nm+n C n-1n+m-1C nm+n随机变量 X 的期望为E(X)= = .m+
20、nk=n1k Cn-1k-1Cnm+n 1Cnm+nm+nk=n1k (k-1)!(n-1)!(k-n)!所以 E(X)1Cnm+nm+nk=n (k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)Cnm+nm+nk=n (k-2)!(n-2)!(k-n)!= (1+ + + )1(n-1)Cnm+n Cn-2n-1Cn-2n C n-2m+n-2= ( + + + )1(n-1)Cnm+nCn-1n-1Cn-2n-1Cn-2n C n-2m+n-2= ( + + )1(n-1)Cnm+nCn-1n Cn-2n C n-2m+n-2= ( + )1(n-1)Cnm+nC n-1m+n-2C n-
21、2m+n-2= = ,Cn-1m+n-1(n-1)Cnm+n n(m+n)(n-1)即 E(X) .n(m+n)(n-1)3.(2013 浙江,19,14 分)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分.(1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若E= ,D= ,求 abc.53 5921解析 (1)由题意得 =2,3,
22、4,5,6.P(=2)= = ,P(=3)= = ,336614 23266 13P(=4)= = ,P(=5)= = ,231+2266 518 22166 19P(=6)= = .1166136所以 的分布列为 2 3 4 5 6P 14 13 518 19 136(2)由题意知 的分布列为 1 2 3P aa+b+c ba+b+c ca+b+c所以 E()= + + = ,aa+b+c 2ba+b+c 3ca+b+c53D()= + + = ,化简得(1-53)2 aa+b+c(2-53)2 ba+b+c(3-53)2 ca+b+c592a-b-4c=0,a+4b-11c=0.解得 a=
23、3c,b=2c,故 abc=321.4.(2014 福建,18,13 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求:(i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组
24、成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析 (1)设顾客所获的奖励额为 X 元.(i)依题意,得 P(X=60)= = ,C11C13C241222即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 .12(ii)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.P(X=60)= ,P(X=20)= = ,12 C23C2412即 X 的分布列为X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以
25、,先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2.以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客
26、所获的奖励额为 X1元,则 X1的分布列为X1 20 60 100P 16 23 16X1的期望为 E(X1)=20 +60 +100 =60,16 23 16X1的方差为 D(X1)=(20-60)2 +(60-60)2 +(100-60)2 = .16 23 1616003对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2元,则 X2的分布列为X2 40 60 80P 16 23 16X2的期望为 E(X2)=40 +60 +80 =60,16 23 16X2的方差为 D(X2)=(40-60)2 +(60-60)2 +(80-60)2 = .16 23 16400
27、3由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2.235.(2014 湖南,17,12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和 .现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立.23 35(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解析 记 E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功,由题设知 P(E)= ,P( )23 E= ,P(F)
28、= ,P( )= ,且事件 E 与 F,E 与 , 与 F, 与 都相互独立.13 35 F 25 FE E F(1)记 H=至少有一种新产品研发成功,则 = ,HEF于是 P( )=P( )P( )= = ,H E F13 25215故 P(H)=1-P( )=1- = .H2151315(2)设企业可获利润为 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220,因为 P(X=0)=P( )EF= = ,P(X=100)=P( F)= = ,P(X=120)=P(E )= = ,13 25215 E 13 35315 F 23 25415P(X=220)=P(EF)= = ,23
29、35615故所求的分布列为X 0 100 120 220P 215 315 415 615数学期望为E(X)=0 +100 +120 +220215 315 415 615= = =140.300+480+132015 2100156.(2014 大纲全国,20,12 分)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.解析 记 Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2,B 表示事件
30、:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,24D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2 C,BP(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)= 0.52,i=0,1,2,(3 分)Ci2所以 P(D)=P(A1BC+A2B+A2 C)B=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2 C)B=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( )P(C)B=0.31.(6 分)(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,则P(X=0)=P( A0 )=P( )P(A0)P( )B C B C=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=
31、1)=P(BA0 + A0C+ A1 )CB B C=P(B)P(A0)P( )+P( )P(A0)P(C)+P( )P(A1)P( )C B B C=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.(10 分)数学期望 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2
32、)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12 分)【三年模拟】解答题(共 90 分)1.(2018 天津河北一模,16)随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式变得多样,某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访,5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购,2 名倾向于选择实体店,5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购,3 名倾向于选择实体店.(1)若从这 10 名购物者中随机抽取 2 名,其中男、女各一名,求至少 1 名倾向于选择实体店的概率;(2)若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名,设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人
33、数,求随机变量 X 的分布列及数学期望.解析 (1)设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A,25则 表示事件“随机抽取 2 名,其中男、女各一名,他们都选择网购”,A则 P(A)=1-P( )=1- = .AC13C12C15C151925(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,则 P(X=k)= ,k=0,1,2,3,Ck3C3-k7C310P(X=0)= ,P(X=1)= ,724 2140P(X=2)= ,P(X=3)= ,740 1120故随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 724 2140 740 1120数学期望为 E(X)=0 +1 +2 +3 = .724 21
34、40 740 11209102.(2019 届天津南开中学统练(2),16)某学校举行一次象棋比赛(实行三局两胜制),甲、乙两人进入决赛.已知甲、乙两人平时进行过多次对弈,记录了 30 局的对弈结果见下表:甲先 乙先甲胜 10 9乙胜 5 6根据表中的信息,预测在下列条件下的比赛结果.(1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先,试求甲在第一局获胜的概率;(2)若第一局由乙先,以后每局由负者先.求甲以二比一获胜的概率;若胜一局得 2 分,负一局得 0 分,用 表示甲在这场比赛中所得的分数,试求 的分布列与数学期望.解析 (1)由题意可知,若甲先,则甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 ;23 13若乙先,
35、则甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 .35 25故甲在第一局获胜的概率 P1= + = .12 2312 351930(2)若甲以二比一获胜,则甲胜第一局、第三局或甲胜第二局、第三局,故甲以二比一获胜的概率 P2= + = .35 25 2325 23 3582526由题意知, 的可能取值为 0,2,4,则P(=0)= = ,25 13215P(=2)= + = ,35 25 1325 23 251475P(=4)= + = .35 358251725故 的分布列为 0 2 4P 215 1475 1725E=0 +2 +4 = .215 1475 1725232753.(2018 天津和平一
36、模,16)对一批渔业产品进行抽测,从中随机抽取 10 件产品,测量该产品中某种元素的含量数据如下(单位:mg):18,13,26,8,20,25,14,22,16,24,并规定该产品中元素含量不少于 15mg 的为优质品.(1)在这 10 件产品中,随机抽取 3 件,求这 3 件产品均为优质品的概率;(2)在(1)的条件下,设抽取的 3 件产品中优质品数为 X,求 X 的分布列与数学期望 EX.解析 (1)由题意知,在这 10 件产品中,优质品有 7 件,非优质品有 3 件,则随机抽取 3 件的基本事件总数 n= =120,C310抽取的 3 件产品均为优质品包含的基本事件个数 m= =35,
37、C37设“抽取的 3 件产品均为优质品”为事件 A,P(A)= = = .mn35120724(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)= = ,C33C3101120P(X=1)= = = ,C17C23C31021120740P(X=2)= = = ,C27C13C310631202140P(X=3)= = = ,C37C31035120724X 的分布列为X 0 1 2 327P 1120 740 2140 724EX=0 +1 +2 +3 = .1120 740 2140 72421104.(2018 天津河东一模,16)某市甲、乙、丙、丁四所中学报名参加某高校今年
38、自主招生的学生人数如下表所示:中学 甲 乙 丙 丁人数 30 40 20 10为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查.(1)问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生?(2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率;(3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自甲、丙两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用 X 表示抽中甲中学的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.解析 (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,抽取的样本容量与总体的个体
39、数的比值为 = .5010012应从甲、乙、丙、丁四所中学抽取的学生人数分别为 15,20,10,5.(2)设“从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M,从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 =1225 种,C250这两名学生来自同一所中学的取法共有 + + + =350 种.C215C220C210C25P(M)= = .350122527答:从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学的概率为.27(3)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自甲,丙两所中学的学生人数分别为 15,1
40、0.依题意得,X 的可能取值为 0,1,2,则P(X=0)= = ,C210C225320P(X=1)= = ,C115C110C2251228P(X=2)= = .C215C225720X 的分布列为X 0 1 2P 320 12 720EX=0 +1 +2 = .320 12 720655.(2019 届天津南开中学第一次月考,16)某大学在自主招生考试面试环节中共设置两类考题,A 类题有 4 道不同的小题,B 类题有 6 道不同的小题,某考生从中任选 4 道题解答.(1)求该考生至少选出 2 道 B 类题的概率;(2)设所选的 4 道题中 B 类题的个数为 X,求随机变量 X 的分布列与
41、期望.解析 (1)设事件 A 为“该考生至少选出 2 道 B 类题”,则P(A)=1- = .C44+C34C16C4103742(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,则P(X=0)= = ,C44C4101210P(X=1)= = = ,C34C16C41024210435P(X=2)= = = ,C24C26C4109021037P(X=3)= = = ,C14C36C41080210821P(X=4)= = = ,C46C41015210114随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 1210 435 37 821 114随机变量 X 的期望为EX=0 +1 +2
42、 +3 +4 = .1210 435 37 821 114125解题分析 (1)设事件 A 为“该考生至少选出 2 道 B 类题”,利用对立事件概率计算公式求出该考生至少选出 2 道 B 类题的概率.(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此求出随机变量 X 的分布列与期望.296.(2019 届天津新华中学期中,16)国庆节期间,某旅行社组织了 14 人参加“国家旅游常识”知识竞赛,每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表:答对题目个数 0 1 2 3人数 3 2 5 4根据上表信息解答以下问题:(1)从 14 人中任选 3 人,求 3
43、人答对题目个数之和为 6 的概率;(2)从 14 人中任选 2 人,用 X 表示这 2 人答对题目个数之和,求随机变量 X 的分布列及 E(X).解析 (1)记“3 人答对题目个数之和为 6”为事件 A,则 P(A)= = ,C35+C12C15C14+C13C24C314 1791故 3 人答对题目个数之和为 6 的概率为 .1791(2)由题意知,X 的可能取值是 0,1,2,3,4,5,6,则P(X=0)= = ,C23C214391P(X=1)= = ,C13C12C214691P(X=2)= = ,C22+C13C15C2141691P(X=3)= = ,C13C14+C12C15C
44、214 2291P(X=4)= = ,C25+C12C14C2141891P(X=5)= = ,C15C14C2142091P(X=6)= = ,C24C214691从而随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 6P 391 691 1691 2291 1891 2091 691随机变量 X 的数学期望为 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 = .391 691 1691 2291 1891 2091 691247解题分析 对于(1),记“3 人答对题目个数之和为 6”为事件 A,则 P(A)= ,计C35+C12C15C14+C13C24C314算即可.对于(2),由
45、题意知 X 的可能取值是 0,1,2,3,4,5,6,利用组合数公式求出 X 分别取0,1,2,3,4,5,6 的概率,然后列出分布列求数学期望.307.(2019 届天津南开中学第二次月考,16)已知一个袋子里装有只有颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个,现从中随机取球,每次只取一个球.(1)若每次取球后都放回袋中,求连续取球四次,至少取得两次白球的概率;(2)若每次取球后都不放回袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏.记游戏结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望.解析 (1)记事件 Ai表示“第 i 次取到白球(i1,2,3,4)”,事件 B
46、 表示“连续取球四次,至少取得两次白球”,则= +A1 + A2 + A3 + A4.BA1A2A3A4 A2A3A4A1A3A4A1A2A4A1A2A3P( )=P( )+P(A1 )+P( A2 )+P( A3 )+P( A4)= + 4= ,B A1A2A3A4 A2A3A4 A1A3A4 A1A2A4 A1A2A3 (23)413 (23)3 1627P(B)=1-P( )= .B1127(2)易知随机变量 X 的所有可能取值为 2,3,4,5,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,C22C26115 C12C14C26 14215P(X=4)= = ,P(X=5)=1- - - = ,C12C24C36 1315 1152151535随机变量 X 的分布列为X 2 3 4 5P 115 215 15 35随机变量 X 的期望为 E(X)=2 +3 +4 +5 = .115 215 15 35133解题分析 本题主要考查概率的相关知识.(1)先找出所求事件的对立事件包括的几种情况,然后分别求出每种情况的概率,从而求得对立事件的概率,最后得到所求事件的概率;(2)由题意分析出 X 的可能取值,分别求出对应的概率,列出分布列,然后进行数学期望的计算.
