1、第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 平面的基本性质 考点2 空间中直线间的位置关系 考点3 直线、平面间的位置关系,考法1 空间点、线、面的位置关系的判定及应用 考法2 求异面直线所成的角,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,专题 构造模型判断空间线面位置关系,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,异面直线所成的角和线面位置关系是高考的热点,其中线面位置关系的相关知识是立体几何部分的基础,单独考查较少,但在解答题中会经常涉及. 2.学科核心素养 本
2、讲通过空间点、线、面的位置关系考查考生的直观想象、逻辑推理素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 平面的基本性质 考点2 空间中直线间的位置关系 考点3 直线、平面间的位置关系,考点1 平面的基本性质,1.四个公理,2.公理2的推论 推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.,考点2 空间中直线间的位置关系（重点）,1.空间两直线的位置关系,2.异面直线所成的角(1) (2) 图8-2-2 设直线a,b是两条异面直线,如图8-2-2,经过空间任一点O,分别作直线aa,bb,相交直线a
3、,b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).,特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,则称这两条异面直线互相垂直. 注意 异面直线既不平行,也不相交,异面直线所成的角的范围是(0, 2 ,所以空间两直线垂直有两种情况异面垂直和相交垂直.,考点3 直线、平面间的位置关系（重点）,B考法帮题型全突破,考法1 空间点、线、面的位置关系的判定及应用 考法2 求异面直线所成的角,考法1 空间点、线、面的位置关系的判定及应用,示例1 在下列图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形的是 . 解析 图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共
4、面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,则GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图中,GH与MN异面.,示例2 2015安徽,5,5分 已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是 A.若,垂直于同一平面,则与平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面,解析 选项A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故选项A错误;选项B中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故选项B错误;选项C中,
5、若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故选项C错误;选项D中,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面. 答案 D,拓展变式1 如图8-2-3为正方体表面的一种展开图,则在原正方体中,四条线段AB,CD,EF,GH所在直线中互为异面直线的有 对. 图8-2-3,解析 还原后的正方体如图D 8-2-4,其中AB与CD,AB与GH,EF与GH为异面直线,共3对. 答案 3,图 D 8-2-4,考法2 求异面直线所成的角,示例3 2017全国卷,10,5分 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2
6、,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 思路导引 先将三棱柱补成四棱柱,然后利用平移法将异面直线所成角转化为三角形的内角求解即可,或直接利用平面向量的相关知识求解,或直接建立空间直角坐标系,利用向量法求解.,解析 解法一 (平移法)如图8-2-4所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,图8-2-4 则AD1BC1,所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.(补形平移),因为ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,所以AB1= 5 , AD
7、1= 2 .在B1D1C1中,B1C1D1=60,B1C1=1,D1C1=2,所以B1D1= 1 2 + 2 2 21 cos 60 0 = 3 ,所以cosB1AD1= 5+23 2 5 2 = 10 5 .解法二 (向量法)如图8-2-5, 取 =a, =b, 1 =c,则由已知可得|a|=2,|b|=|c|=1,且=120,=90.所以ab=21cos 120= -1,ac=bc=0.,图8-2-5,因为 1 =c-a, 1 =b+c, 所以 1 1 =(c-a)(b+c)=c2+cb-ab-ac=12-0-(-1)-0=2. 又| 1 |= 2 = c 2 2c+ 2 = 1 2 0+
8、 2 2 = 5 , | 1 |= + 2 = 2 +2+ 2 = 1 2 0+ 1 2 = 2 , 所以cos= 1 1 | 1 | 1 | = 2 5 2 = 10 5 . 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 10 5 . 答案 C,拓展变式2 改编题如图8-2-7,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CBAB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为( )图8-2-7 A.- 30 10 B. 30 5 C.- 30 5 D. 30 10,2.D 如图D 8-2-5,取BC的中点E,连接DE,AE.则在PBC中,PD=DB,BE=EC,
9、所以DEPC,且DE= 1 2 PC.故EDA为异 面直线PC,AD所成的角或其补角.因为PA平面ABC,所以图D 8-2-5 PAAC,PAAB.在RtABC中,AC= 2 +B 2 = 2 2 + 4 2 =2 5 ,在RtPAC中,PC= 2 +A 2 = 2 2 +(2 5 ) 2 =2 6 .故DE= 1 2 PC= 6 .在RtPAB中,PB= 2 +P 2 = 4 2 + 2 2 =2 5 .又PD=DB,所以AD= 1 2 PB= 5 .在,RtEAB中,AE= 2 +B 2 = 4 2 + 1 2 = 17 .在DAE中,cosADE= 2 +D 2 A 2 2 = ( 5
10、) 2 +( 6 ) 2 ( 17 ) 2 2 5 6 =- 30 10 .设异面直线PC,AD所成的角为,则cos =|cosADE|= 30 10 .故选D.,C方法帮素养大提升,专题 构造模型判断空间线面位置关系,示例4 已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题: 若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn. 其中正确的命题是 A. B. C. D. 思维导引 构造模型,找出适合条件的直线与平面,在长方体内判断它们的位置关系.,专题 构造模型判断空间线面位置关系,解析 借助于长方体模型来解决本题,对于,可以得到平面,互相垂直,如图8-
11、2-8(1)所示,故正确;对于,平面,可能垂直,如图8-2-8(2)所示,故不正确;对于,平面,可能垂直,如图8-2-8(3)所示,故不正确;对于,由m,可得m,因为n,所以过n作平面,且=g,如图8-2-8(4)所示,所以n与交线g平行,因为mg,所以mn,故正确.图8-2-8 答案 A,拓展变式3 已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( ) A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 3.D 在如图D 8-2-8所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.,图D 8-2-8,
