1、第16课时 直角三角形,考点梳理,自主测试,考点一 直角三角形的性质 1.直角三角形的两锐角互余. 2.直角三角形中,30角所对的边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 考点二 直角三角形的判定 1.有一个角等于90的三角形是直角三角形. 2.有两角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角三角形. 4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.,考点梳理,自主测试,1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不
2、能构成直角三角形的是( ) A.3,4,5 B.6,8,10 D.5,12,13 答案:C 2.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知A=EDF=90,AB=AC,E=30,BCE=40,则CDF的度数为 ( )A.30 B.40 C.25 D.35 答案:C,考点梳理,自主测试,3.如图,在ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC中点,则DE= . 答案:4 4.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 .,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1 勾股定理 【例1】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直
3、角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长. 解:设CD长为x cm,由折叠得ACDAED. AE=AC=6 cm,AED=C=90,DE=CD=x cm. 在RtABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm. 在RtDEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2. x2+42=(8-x)2,解得:x=3. CD的长为3 cm.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,变式训练有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6 m,8 m,现在要将绿地扩充成等腰三
4、角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点2 勾股定理的逆定理 【例2】 如图,在四边形ABCD中,A=90,AB=3,AD=4,CD=13, CB=12,求四边形ABCD的面积.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点3 勾股定理的实际应用 【例3】 如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D为两村庄(可看为两个点),DAAB于点A,CBAB于点B,已知DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个
5、土特产收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?分析:因为DAAB于点A,CBAB于点B,在AB上找一点可构成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解. 解:设E站应建在距A站x km处. 根据勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得:x=6. 所以E站应建在距A站6 km处.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点4 直角三角形性质的综合应用 【例4】 已知,在ABC中,AB=AC,过点A的直线从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角,直线交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),BMN的
6、边MN始终在直线上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN. (1)当BAC=MBN=90时, 如图a,当=45时,ANC的度数为 ; 如图b,当45时,中的结论是否发生变化?说明理由. (2)如图c,当BAC=MBN90时,请直接写出ANC与BAC之间的数量关系,不必证明.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,分析:在(1)中,由AB=AC,BAC=MBN=90,=45,可得AN垂直平分BC,同理可得BC垂直平分AN,因此AC=CN,所以有ANC=45;求角的度数,一般要想办法把它放到直角三角形中进行,因此可分别过B,C两点作MN的垂线,用三角形全等作为桥梁找到解决问题所需要的边角关系;(2)根据的思路得出结论.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,解:(1)45;不变. 理由:过B,C分别作BDAP于点D,CEAP于点E. BAC=90,BAD+EAC=90. BDAE,ADB=90, ABD+BAD=90, ABD=EAC. 又AB=AC,ADB=CEA=90, ABDCAE, AD=CE,BD=AE. BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高, BD=DN,BND=45,DN=BD=AE, DN-DE=AE-DE,即NE=AD=EC. NEC=90,ANC=45.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,
