1、第五节 指数与指数函数,1.指数幂的概念,2.有理数指数幂,3.指数函数的图象与性质,教材研读,考点一 指数幂的运算,考点二 指数函数的图象与性质,考点三 指数函数的应用,考点突破,教材研读,1.指数幂的概念,(1)根式的概念,(2)两个重要公式= ( )n= a (注意a必须使 有意义).,2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂:= (a0,m,nN*,n1). (ii)正数的负分数指数幂:= = (a0,m,nN*,n1).,(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义.,(2)有理数指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a0,r,sQ)
2、. (ii)(ar)s= ars (a0,r,sQ). (iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ).,3.指数函数的图象与性质,1.计算(-2)6 -(-1)0的结果为 ( B ) A.-9 B.7 C.-10 D.9,解析 原式= -1=23-1=7.故选B.,2.函数f(x)=3x+1的值域为 ( B ) A.(-1,+) B.(1,+) C.(0,1) D.1,+),解析 3x0,3x+11,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+).,3.(2016北京东城期中)函数y=ax- (a0,且a1)的图象可能是 ( D ),解析 当x=-1时,y= - =0,所以函数y=ax-
3、 的图象必过定点(-1,0),结 合选项可知选D.,4.已知f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,则“f(2)g(2)”是“ab”的 ( C ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 因为f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,所以a0且a1,b0且b1. 若f(2)g(2),则a2b2,所以ab,充分性成立. 若ab,则a2b2,所以f(2)g(2),必要性成立.,5.当a0且a1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点 .,答案 (2,-2),解析 令x-2=0,则x=2,此时, f(x)=1-3=-2,故函数f(x)=ax
4、-2-3的图象必过定 点(2,-2).,6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为 .,答案 (2,3),解析 f(x)=(a-2)x为减函数,0a-21,即2a3.,考点一 指数幂的运算 典例1 化简:,考点突破,(1) +2-2 -(0.01)0.5; (2) b-2(-3 b-1)(4 b-3 ; (3) .,解析 (1)原式=1+ - =1+ - =1+ - = . (2)原式=- b-3(4 b-3 =- b-3( )=- . (3)原式= = = .,易错警示 (1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂,以便利 用法则计算,但应注意:必须同底数
5、幂相乘,指数才能相加;运算的 先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运 算结果中数字因式以外的部分不能同时含有根号和分数指数,也不能 既含有分母又含有负指数.,1-1 = .,答案 a2,解析 原式= = ( -2 ) = a =a2.,1-2 计算: +0.00 -10( -2)-1+0.,解析 原式= + - +1 = +50 -10( +2)+1 = +10 -10 -20+1=- .,典例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的 是 ( D )A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,考点二 指数函数的图象与性
6、质,(2)(2016北京通州高三摸底,3)已知a=1,b= ,c=30.9,则a,b,c的大小关系 是 ( D ) A.abc B.bca C.cab D.bac,解析 (1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递 减,所以030=1, bac,故选D.,1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象 入手,通过平移、伸缩、对称变换得到的.特别地,当底数a与1的大小关 系不确定时应注意分类讨论.,2.指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和 指数均不相同.,方法技巧,3.指数式值的大小比较的常用方法 (1)化为相同指
7、数或相同底数后利用相应函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0或1等)分段.,2-1 设a=0.23,b=log20.3,c=20.3,则 ( D ) A.bca B.cba C.abc D.bac,解析 因为01,所以bac,故选D.,2-2 直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,则k的取值范围 是 .,答案 (0,1),解析 y=|3x-1|的图象如图,显然,当0k1时,符合题意.,典例3 (1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a= f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为
8、 ( C ) A.a0且a1,函数y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是14,则a的值为或3 .,考点三 指数函数的应用,解析 (1)f(x)=2|x-m|-1为偶函数, m=0. a=f(log0.53)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25log230,而函数f(x)=2|x|-1在 (0,+)上为增函数, f(log25)f(log23)f(0), 即bac,故选C.,(2)令t=ax(t0), 则y=(t+1)2-2(t0).令f(t)=y=(t+1)2-2(t0). 当0a1时,t=ax , 此时f(t)在 上为增函数, 所以f(t)max=f =
9、-2=14,所以 =16,所以a=- 或a= . 又0a1,所以a= .,所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 所以(a+1)2=16,所以a=-5或a=3, 又a1,所以a=3.综上,a= 或a=3.,当a1时,t=ax ,此时f(t)在 上是增函数,方法技巧 与指数函数有关的复合函数问题的解题策略,1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题 (1)函数y=a f(x)(a0,且a1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)先确定f(x)的值域,再确定函数y=a f(x)(a0,且a1)的值域.,2.与指数函数有关的复合函数的单调性问题 利用复合函数单调性判断形如y=a
10、 f(x)(a0,且a1)的函数的单调性,它的 单调区间与f(x)的单调区间有关.若a1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间 即为y=a f(x)的单调增(减)区间;若0a1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间 即为函数y=a f(x)的单调减(增)区间,概括起来即“同增异减”.,3.与指数函数有关的复合函数的最值问题,往往转化为二次函数的最值 问题.,3-1 记x2-x1为区间x1,x2的长度,已知函数y=2|x|,x-2,a(a0),其值域 为m,n,则区间m,n的长度的最小值是 .,解析 令f(x)=y=2|x|,则f(x)= (1)当a=0时, f(x)=2-x在-2,0上为减函数,值域为1,4. (2)当a0时, f(x)在-2,0)上递减,在0,a上递增, 当02时, f(x)max=f(a)=2a4,值域为1,2a. 综合(1)(2),可知区间m,n的长度的最小值为3.,答案 3,
