1、12-3-2 离散型随机变量的方差1牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02，设发病的牛的头数为 ，则 D( )等于( )A0.2 B0.8 C0.196 D0.804解析 B(10,0.02)， D( )100.02(10.02)0.196.答案 C2投掷一枚骰子的点数为 ，则( )A E( )3.5， D( )3.5 2 B E( )3.5， D( )3512C E( )3.5， D( )3.5 D E( )3.5， D( )3516解析 P( k) ， k1,2,3,4,5,6，16 E( ) (1236)3.5，16E( 2) (122 26 2)
2、 ，16 916 D( ) E( 2)( E( )2 .916 494 3512答案 B3已知随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)若 E(X)30， D(X)20，则 p_.解析 由Error!得 p .13答案 134随机变量 的取值为 0,1,2.P( 0) ， E( )1，则 D( )_.15解析 由题意设 P( 1) p，则 的分布列为 0 1 2P15p p45由 E( )1，可得 p ，所以 D( )1 2 0 2 1 2 .35 15 35 15 25答案 25课内拓展 课外探究21常用分布的方差(1)两点分布：若 X 服从两点分布，则 D(X) p(1 p)注意：上述公式
3、证明如下：由于 X 服从两点分布，即 P(X0)1 p， P(X1) p， E(X) p， E(X2)0 2(1 p)1 2p p， D(X) E(X2)( E(X)2 p p2 p(1 p)(2)二项分布：若 X B(n， p)，则 D(X) np(1 p)注意：上述结论证明如下： X B(n， p)，令 q1 p，则 P(X i)C piqn i，in E(X2) 2C piqn ini 0i in (i1)C piqn i C piqn ini 2i inni 0iin (i1)C piqn i E(X)ni 2i in n(n1) p2 pi2 q(n2)( i2) E(X)ni 2C
4、i 2n n(n1) p2 pjq(n2) j E(X)n 2j 0Cjn 2 n(n1) p2(p q)n2 E(X) n(n1) p2 E(X) n(n1) p2 np， D(X) E(X2)( E(X)2 n(n1) p2 np( np)2 np np2 npq.故 D(X) np(1 p)(3)超几何分布：若随机变量 X 服从超几何分布，即 X H(N， M， n)，则D(X) .nMN(1 MN)N nN 1某人投篮命中的概率为 p0.4.(1)求投篮一次，命中次数 X 的均值和方差；(2)求重复 10 次投篮时命中次数 Y 的均值和方差解 (1) X 的分布列为X 0 13P 0.
5、6 0.4E(X)00.610.40.4.D(X)(00.4) 20.6(10.4) 20.40.24.(2)由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y B(10,0.4)， E(Y) np100.44，D(Y)100.40.62.4.点评 由随机变量的方差的计算公式可知，欲求随机变量的方差应先求该随机变量的数学期望若该随机变量服从一些特殊的分布(如两点分布、二项分布、超几何分布)，可以直接利用已知的公式进行计算2方差的求法(1)定义法求离散型随机变量的方差的步骤：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变量取各个值的概率；列出分布列；利用公式 E(X) x1p1 x2p2 xi
6、pi xnpn求出随机变量的期望 E(X)；代入公式 D(X)( x1 E(X)2p1( x2 E(X)2p2( xi E(X)2pi( xn E(X)2pn求出方差 D(X)；代入公式 (X) 求出随机变量的标准差 .D X(2)利用公式 D(X) E(X2)( E(X)2求方差公式 D(X) E(X2)( E(X)2的证明如下：D(X)( x1 E(X)2p1( x2 E(X)2p2( xn E(X)2pn( x p1 x p2 x pn)2 E(X)(x1p1 x2p2 xnpn)( E(X)2(p1 p2 pn)21 2 2n E(X2)2( E(X)2( E(X)2 E(X2)( E
7、(X)2.利用公式 D(X) E(X2)( E(X)2可以简化求方差的过程盒子中有 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任取两个球，求取出白球的个数的期望和方差解 取出白球个数 的可能取值为 0,1,2. 0 表示取出的两个球都是黑球， P( 0) ；1C25 110 1 表示取出的两个球一个黑球，一个白球， P( 1) ；C13C12C25 35 2 表示取出的两个球都是白球， P( 2) ，于是：C23C25 310E( )0 1 2 1.2，110 35 3104D( )(01.2) 2 (11.2) 2 (21.2) 2 0.36，110 35 310或 E( 2)0 2 1
8、2 2 2 1.8，110 35 310D( ) E( )2( E( )21.81.2 20.36.点评 求离散型随机变量的数学期望和方差，往往先求概率分布，再根据定义求解，在方差的计算过程中，利用 D( ) E( )2( E( )2计算方差要简便一些设随机变量 X 的分布列为 1 2 nP 1n 1n 1n求 D(X)解 解法一： E(X)1 2 n (12 n) 1n 1n 1n 1n n n 12 1n，n 12于是，有D(X) 2 2 2 (1n 12 ) 1n (2 n 12 ) 1n (n n 12 ) 1n 1n . 12 22 n2 n 1 1 2 n n n 1 24 n2
9、112解法二：由解法一可求得 E(X) .n 12又 E(X2)1 2 2 2 n2 (122 2 n2) .1n 1n 1n 1n n 1 2n 16 D(X) E(X2)( E(X)2 . n 1 2n 16 n 1 24 n2 112点评 本例的解法二比解法一简捷得多，这是因为公式 D(X) E(X2)( E(X)2是由公式 D(X) (xi E(X)2pi展开并化简后得到的结论，因此利用公式 D(X) E(X2)( E(X)ni 12来计算 D(X)就避免了用公式 D(X) (xi E(X)2pi的复杂的展开、化简过程ni 1当随机变量 X 为 n(不是具体的数值)个时，在计算 E(X)及 D(X)时，应把“ n”当作常量来计算5
