1、1第一课时 排列与排列数公式教材研读预习教材 P1420 ，思考以下问题1排列的概念是什么？2排列数的定义是什么？什么是排列数公式？3排列数公式有哪些性质？要点梳理1排列的概念从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列2相同排列的两个条件(1)元素相同(2)顺序相同3排列数及排列数公式自我诊断2判断(正确的打“” ，错误的打“”)11,2,3 与 3,2,1 为同一排列( )2在一个排列中，同一个元素不能重复出现( )3从 1,2,3,4 中任选两个元素，就组成一个排列( )4从 5 个同学中任选 2 个同学分别参加
2、数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题( )答案 1. 2. 3. 4.题 型 一 排 列 的 概 念思考：如何判断一个问题是否为排列问题？提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题下列问题是排列问题的为_(只填序号)选 2 个小组分别去植树和种菜；选 2 个小组分别去种菜；某班 40 名同学在假期互发短信；由 1,2,3 三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？从 40 人中选 5 人组成篮球队，有
3、多少种不同的选法？从 1,2,3,4 中取两个数可以组成多少个不同的集合？解析 是植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题不是选 2个小组分别去种菜，不存在顺序问题，不是排列问题是 A 给 B 发短信与 B 给 A 发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题由 1,2,3 组成的三位数与顺序有关，是排列问题，不存在顺序问题，不是排列问题答案 变式 将典例中的“互发短信”改为“互通电话” ，则此问题是排列问题吗？解 不是，互通电话与互发短信不同，与顺序无关，故不是排列问题3判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练判断下列问题是否为排列问题：(1)某班共有 50 名同学，现要投票选举正
4、、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从 2,3,5,7,9 五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？(3)有 12 个车站，共需准备多少种车票？(4)从集合 M x|1 x9， xN中任取相异的两个元素作为 a， b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆 1?x2a2 y2b2解 (1)是选出的 2 人，担任正、副班长，职务不同，与顺序有关，所以是排列问题；(2)是对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关；(3)是起点站或终点站不同，则车票就不同，与顺序有关(4)不是焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a， b 必须 ab， a， b 的大小一定，
5、选出的两数较大的只能作 a，较小的只能作 b，与顺序无关，所以不是排列问题题型二 排列数公式及应用思考：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？4提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列” ，它不是一个数，而是具体的一件事 “排列数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数” ，它是一个数(1)用排列数表示(55 n)(56 n)(69 n)(nN *且 n55)；(2)计算 2A A ；34 4(3)求证：A mA A .mn 1 m 1n mn思路导引 (1)(2
6、)应是排列数公式的正、逆用；(3)中证明常采用排列数公式的阶乘形式解 (1)55 n,56 n，69 n 中的最大数为 69 n，且共有 69 n(55 n)115 个元素，(55 n)(56 n)(69 n)A .1569 n(2)2A A 24324321482472.34 4(3)证明：A mA m mn 1 m 1n n 1 ！ n 1 m ！ n 1 ！ n m ！ n 1 ！ n m m n m ！ n！ n m ！A .mn(1)排列数的第一个公式 A n(n1)( n m1)适用于具体计算以及解当 m 较小时mn的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点；(2)排
7、列数的第二个公式 A 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不mnn！ n m ！等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“ m n 且nN *， mN *”的运用跟踪训练1计算 .4A48 2A58A8 A59解 .4A48 2A58A8 A59 4A48 24A48432A48 9A48 4 824 9 452求 3A 4A 中的 x.x8 x 19解 原方程 3A 4A 可化为 ，即 x8 x 1938！ 8 x ！ 49！ 10 x ！ 38！ 8 x ！，化简，得 x219 x780，解得 x16， x213.498！ 10 x 9 x 8 x ！5由题意
8、知Error!解得 x8.所以原方程的解为 x6.题 型 三 简 单 的 排 列 问 题(1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从 4 个元素 a， b， c， d 中任取 3 个元素的所有排列思路导引 可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式解 (1)解法一：把 1,2,3,4 中任意一个数字排在第一个位置上，有 4 种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有 3 种排法由题意作树形图，如下故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个解法二：从 4 个数字中任
9、取 2 个，其排列个数为 A 4312.24(2)由题意作树形图，如下故所有的排列为abc， abd， acb， acd， adb， adc， bac， bad， bca， bcd， bda， bdc， cab， cad， cba， cbd， cda， cdb， dab， dac， dba， dbc， dca， dcb.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这
10、样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列6跟踪训练1写出 A， B， C， D 四名同学站成一排照相， A 不站在两端的所有可能站法解 如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD， BADC， BCAD， BDAC， CABD， CADB， CBAD， CDAB， DABC， DACB， DBAC， DCAB，共 12种2(1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)12 名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？解 (1)从 5
11、个不同的科研小课题中选出 3 个，由 3 个学习兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列因此共有 A 54360 种不同的安排方法35(2)从 12 名选手中选出 3 名获奖并安排奖次，共有 A 1211101320 种不同的312获奖情况1.本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用难点是排列数公式的计算与证明问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)对排列概念的理解，见典例 1；(2)利用排列数公式进行计算或证明，见典例 2；(3)简单排列问题的解决方法，见典例 3.3本节课的易错点是利用排列数公式 A 解决问题时，易忽视条件 m n，且mnmN *， nN *.7
