1、1专题 03 利用导数研究函数的性质第三季1设函数 在定义域 上是单调函数，且，若不等式 对 恒成立，则的取值范围是（ ）A BC D【答案】D【解析】据此可知函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，函数 的最小值为 ，结合恒成立的结论可知： 的取值范围是 .本题选择 D 选项.2定义在函数 上的函数 满足 ， ，则关于 x 的不等式 的解集为（ ）A B C D【答案】B【解析】令 ，则 ， ，2 ，函数 在 上单调递增又 ， 结合题意，不等式 可转化为 ，即 ， ，解得 ，原不等式的解集为 故选 B3已知函数 的值域与函数 的值域相同，则 的取值范围为A B C D【答案】C【解析】
2、，时， ； 时， ，在 上递增，在 上递减，即 的值域为 ，则 ，在 上递增，在 上递减，要使 的值域为 ，则 ， ，又 ， 的范围是 ，故选 C.34若函数 在 上为 增函数，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】依题意可得 对 x 恒成立，令 x+1=t(10 时，解得 .当 a0，所以 h(x)在区间(e，e 2上单调递增，故 h(x)maxh(e 2)= 所以 a .所以实数 a 的取值范围是 ，)10故选 B.13设函数 ，其中 ,若存在唯一 的整数 ，使得 ，则 的取值范围是( ).A B C D【答案】A【解析】设 ,由题意知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方
3、，当 时， ，当 时， ，当 时， 取最小值 ，又 ，直线 恒过定点 且斜率为 m，故 且解得 ，故选 A.14设函数 ，其中， ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】11设 ，由题意知,存在唯一 的整数 使得 在直线 的下方，当 时， ，当 时， ，当 时， 取最小值 ，当 时， ，当 时， ，直线 恒过定点 且斜率为 ，故 且 ，解得 ,故选：B15如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A B C D
4、【答案】B【解析】小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为 5，下部分深入底部半球内设为 h (0 h 5)，小圆柱的底面半径设为 r (0 r 5)，由于 和球的半径构成直角三角形，即 + ，所以小圆柱体积，(0 h 5)，求导 ，当 0 h 时，体积12单调递增，当 h 5 时，体积 单调减。所以当 h= 时，小圆柱体积取得最大值，故选 B.16已知数列 的前 项和为 ，则下列选项正确的是（ ）A BC D【答案】B【解析】构造函数 ，所以 在 上递增， ，可得 ，令 ，化为 ，即 ，故选 B.17已知函数 ，在函数 图象上任取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 5，则实数 的取
5、值范围是（ ）A B C D【答案】B13则 对 恒成立，则 ，即 ，解之得 或 .又 ，所以 .18已知 P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点，PA=PB=PC=2， ，点 B 在 AC 上的射影为 D，则三棱锥 体积的最大值为 （ ）A B C D【答案】D【解析】如下图，由题意， ， ，取 的中点为 ，则 为三角形 的外心，且为 在平面 上的射影，所以球心在 的延长线上，设，则 ，所以 ，即 ，所以 .故 ，过 作 于 ，设 ( )，则 ,设 ，则 ，故 ，所以 ，则 ，所以 的面积 ，令 ，则 ，14因为 ，所以当 时， ，即 此时单调递增；当 时， ，此时单调递减。所以当 时，
6、 取到最大值为 ，即 的面积最大值为 。当 的面积最大时，三棱锥 体积取得最大值为 .故选 D.19已知函数 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是 A B C D【答案】D【解析】函数 g（x）=f（x）-ax 在区间 上有三个零点，y=f（x）与 y=ax 在区间 上有三个交点；由函数 y=f（x）与 y=ax 的图象可知， ；f（x ）=lnx， （x1） ， ，设切点坐标为（t，lnt） ，则 ，解得：t=e 则直线 y=ax 的斜率 故选：D20设 0 m2，已知函数 ，对于任意 x1， x2 m-2， m，都有| f(x1)-f(x2)|1，则15实数 m 的取值范围为A BC D【答案】B【解析】设 ,函数 ， 对于任意 ，都有 ，等 价于在 上， ，求导时，在 为减函数，因为 ，在 上为减函数，得 或 ，又 ，即实数 的范围是 ，故选 B.16
