1、1第 6讲 平行、垂直的综合问题基础题组练1如图所示，四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90.将ADB沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC解析：选 D.因为在四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，所以 BD CD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD，故 CD平面 ABD，则 CD AB.又 AD AB， AD CD D，
2、 AD平面 ADC， CD平面 ADC，故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，所以平面 ADC平面 ABC.2如图，四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD ， BD CD.将四边形 ABCD沿对角线2BD折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，则下列结论正确的是( )A A C BDB BA C90C CA与平面 A BD所成的角为 30D四面体 A BCD的体积为13解析：选 B.若 A成立可得 BD A D，产生矛盾，故 A不正确；由题设知： BA D为等腰 Rt， CD平面 A BD，得 BA平面 A CD，则BA A C，于是 B正确；由 CA与平面 A
3、BD所成的角为 CA D45知 C不正确；2VA BCD VCA BD ，D 不正确故选 B.163如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是矩形，点 E在棱 PC上(异于点 P， C)，平面 ABE与棱 PD交于点 F.(1)求证： AB EF；(2)若平面 PAD平面 ABCD，求证： AF EF.证明：(1)因为四边形 ABCD是矩形，所以 AB CD.又因为 AB平面 PDC， CD平面 PDC，所以 AB平面 PDC.又因为 AB平面 ABEF，平面 ABEF平面 PDC EF，所以 AB EF.(2)因为四边形 ABCD是矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD
4、，平面 PAD平面 ABCD AD， AB平面 ABCD，所以 AB平面 PAD.又因为 AF平面 PAD，所以 AB AF.由(1)知 AB EF，所以 AF EF.4(2019河南开封定位考试)如图，在三棱锥 DABC中， AB2 AC2， BAC60，AD ， CD3，平面 ADC 平面 ABC.6(1)证明：平面 BDC平面 ADC；(2)求三棱锥 DABC的体积解：(1)证明：在 ABC中，由余弦定理可得，BC ，所以AB2 AC2 2ABACcos BAC4 1 22112 3BC2 AC2 AB2，所以 BC AC，因为平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABC AC，所
5、以 BC平面 ADC，又 BC平面 BDC，所以平面 BDC平面 ADC.(2)由余弦定理可得 cos ACD ，所以 sin ACD ，所以 S ACD ACCD23 53 123sin ACD ，52则 VDABC VBADC BCS ACD .13 1565如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为菱形， PA平面 ABCD， ABC60， E是 BC的中点(1)证明： AE平面 PAD；(2)取 AB2，若 H为 PD上的动点， EH与平面 PAD所成的最大角的正切值为 ，求 PA62的长度解：(1)证明：由四边形 ABCD为菱形， ABC60，可得 ABC为正三角形因为 E为 B
6、C的中点，所以 AE BC.又因为 BC AD，所以 AE AD.因为 PA平面 ABCD， AE平面 ABCD，所以 PA AE.而 PA平面 PAD， AD平面 PAD， PA AD A，所以 AE平面 PAD.(2)连接 AH.由(1)知 AE平面 PAD，则 EHA为 EH与平面 PAD所成的角在 Rt EAH中， AE ，tan EHA ，3AEAH 3AH所以当 AH最短，即 AH PD时， EHA最大，此时 tan EHA ，因此 AH .AEAH 3AH 62 2又因为 AD2，所以 ADH45，所以 PA AD2.综合题组练1(2019武汉市部分学校调研)如图(1)，在矩形
7、ABCD中， AB4， AD2， E是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图(2)所示的四棱锥 D1ABCE，其中平面 D1AE平面ABCE.4(1)证明： BE平面 D1AE；(2)设 F为 CD1的中点，在线段 AB上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由AMAB解：(1)证明：因为四边形 ABCD为矩形且 AD DE EC BC2，所以 AEB90，即BE AE，又平面 D1AE平面 ABCE，平面 D1AE平面 ABCE AE，所以 BE平面 D1AE.(2) ，理由如下：AMAB 14取 D1E的中点 L，连接 FL， AL(图略
8、)，所以 FL EC.又 EC AB，所以 FL AB，且 FLAB.所以 M， F， L， A四点共面，若 MF平面 AD1E，则 MF AL.所以四边形 AMFL为平行四14边形，所以 AM FL AB， .14 AMAB 142(2019合肥市第一次教学质量检测)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是正方形， BF平面 ABCD， DE平面 ABCD， BF DE， M为棱 AE的中点(1)求证：平面 BDM平面 EFC；(2)若 AB1， BF2，求三棱锥 ACEF的体积解：(1)如图，设 AC与 BD交于点 N，则 N为 AC的中点，连接MN，又 M为棱 AE的中点，所
9、以 MN EC.因为 MN平面 EFC， EC平面 EFC，所以 MN平面 EFC.因为 BF平面 ABCD， DE平面 ABCD，且 BF DE，所以 BF綊 DE，所以四边形 BDEF为平行四边形，所以 BD EF.因为 BD平面 EFC， EF平面 EFC，5所以 BD平面 EFC.又 MN BD N，所以平面 BDM平面 EFC.(2)连接 EN， FN.在正方形 ABCD中， AC BD，又 BF平面 ABCD，所以 BF AC.又 BF BD B，所以 AC平面 BDEF，又 N是 AC的中点，所以 VANEF VCNEF，所以 VACEF2 VANEF2 ANS NEF2 2 ，
10、13 13 22 12 2 23所以三棱锥 ACEF的体积为 .233如图(1)，在 Rt ABC中， ABC90， D为 AC的中点， AE BD于点 E(不同于点D)，延长 AE交 BC于 F，将 ABD沿 BD折起，得到三棱锥 A1BCD，如图(2)所示(1)若 M是 FC的中点，求证：直线 DM平面 A1EF；(2)求证： BD A1F；(3)若平面 A1BD平面 BCD，试判断直线 A1B与直线 CD能否垂直？并说明理由解：(1)证明：因为 D， M分别为 AC， FC的中点，所以 DM EF，又 EF平面A1EF， DM平面 A1EF，所以 DM平面 A1EF.(2)证明：因为 A
11、1E BD， EF BD且 A1E EF E，所以 BD平面 A1EF.又 A1F平面 A1EF，所以 BD A1F.(3)直线 A1B与直线 CD不能垂直理由如下：因为平面 A1BD平面 BCD，平面 A1BD平面 BCD BD， EF BD， EF平面 BCD，所以EF平面 A1BD.因为 A1B平面 A1BD，所以 A1B EF，又因为 EF DM，所以 A1B DM.假设 A1B CD，因为 CD DM D，所以 A1B平面 BCD，所以 A1B BD，这与 A1BD为锐角矛盾，所以直线 A1B与直线 CD不能垂直64如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， E为 AD的中点，
12、F为 B1C1的中点(1)求证： A1F平面 ECC1；(2)在线段 CD上是否存在一点 G，使 BG平面 ECC1？若存在，请确定点 G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解：(1)如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，取 BC的中点M，连接 AM， FM.则 B1F BM且 B1F BM.所以四边形 B1FMB是平行四边形，所以 FM B1B且 FM B1B.所以 FM A1A且 FM A1A，所以四边形 AA1FM是平行四边形，所以 FA1 AM.因为 E为 AD的中点，所以 AE MC且 AE MC.所以四边形 AMCE是平行四边形所以 EC AM，所以 EC A1
13、F.因为 A1F平面 ECC1， EC平面 ECC1，所以 A1F平面 ECC1.(2)在 CD上存在一点 G且 G是 CD的中点，使 BG平面 ECC1，证明如下取 CD的中点 G，连接 BG，在 CDE和 BCG中， DE GC， CD BC， EDC BCG，所以 CDE BCG，所以 ECD GBC.因为 CGB GBC90，所以 CGB DCE90，所以 BG EC.因为 CC1平面 ABCD， BG平面 ABCD，所以 CC1 BG，又 EC CC1 C，所以 BG平面 ECC1.故在 CD上存在点 G，且 G是 CD的中点，使得 BG平面 ECC1.5阳马和鳖臑(bi no)是九
14、章算术商功里对两种锥体的称谓如图所示，取7一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥 EABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑(三棱锥 EFCD)(1)在阳马(四棱锥 EABCD)中，连接 BD，若 AB AD，证明： EC BD；(2)求阳马(四棱锥 EABCD)和鳖臑(三棱锥 EFCD)的体积比解：(1)如图，连接 AC.因为四边形 ABCD是矩形， AB AD，所以矩形 ABCD是正方形，所以 AC BD.因为 EA平面
15、ABCD， BD平面 ABCD，所以 EA BD，又 EA AC A， EA平面 EAC， AC平面 EAC，所以 BD平面 EAC.因为 EC平面 EAC，所以 EC BD.(2)设 AB a， AD b， EA c.在阳马(四棱锥 EABCD)中，因为 EA平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形，所以 V 四棱锥 EABCD abc .13 abc3在鳖臑(三棱锥 EFCD)中，因为 EF平面 FCD， FD CD， CD a， EF b， DF c，所以 S FCD ac ，12 ac2所以 V 三棱锥 EFCD b ，13 ac2 abc68所以 V 四棱锥 EABCD V 三棱锥 EFCD 21，abc3 abc6所以阳马(四棱锥 EABCD)和鳖臑(三棱锥 EFCD)的体积比为 21.
