1、1第三章 实数本章总结提升问题 1 平方根和立方根平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根有什么关系？开方运算与乘方运算是什么关系？如何求一个数的平方根和立方根？例 1 (1)求 2 ， ， ， 的平方根和算术平方根；79( 15)2 16 （ 3） 2(2)求 ，27 的立方根（ 8） 2例 2 已知某正数的两个平方根分别是 2a7 和 a4， b12 的立方根为2.(1)求 a， b 的值；2(2)求 a b 的平方根【归纳总结】 开方运算与乘方运算互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系问题 2 实数的分类与识别什么是无理数？什么是实数？你知道有哪三种具有明显特征的无理数类型？例 3
2、把下列各数填入相应的横线内：， 3.1416， ， ， ，0. ， ，1.0121121112，1.212212221(两5 3 64 0.04 2 22 23个“1”之间依次多一个“2”)属于有理数的有：_；属于无理数的有：_.【归纳总结】 三种具有明显特征的无理数类型：一是开方开不尽的数；二是化简后含 的数；三是有特殊结构的数如0.5252252225(两个“5”之间依次多图、一个“2”)问题 3 实数的运算实数的运算顺序是什么？它和有理数的运算顺序有什么异同？实数运算的结果有什么特点？例 4 计算：(1)|3| (2) 2；1612 3 8(2) ( )2( )3（ 5） 2 3 8 6
3、 3 3 33【归纳总结】 关于实数的运算，要把握以下两点：(1)有理数的运算法则和性质在实数中仍然适用(2)无理数的运算有两种形式，一种是保留无理数形式，即保留准确值；另一种是取近似值，把无理数运算转化为有理数运算，用哪种形式要依据题目的要求而定问题 4 数形结合思想在实数中的运用当借助数轴解决数学问题时，可以运用数形结合思想解决问题，应该如何利用数轴进行实数的化简呢？例 5 实数 a， b 在数轴上的对应点 A， B 的位置如图 3T1 所示，化简： a b .a2 3（ a b） 3图 3T1【归纳总结】 通过数轴比较出各数的大小，然后利用绝对值、平方根、立方根的性质去绝对值符号和根号4
4、详解详析【整合提升】例 1 解：(1)2 ， ，79 259 (53)2 2592 的平方根是 ，算术平方根是 .79 53 53 ， ，(15)2 125 (15)2 125 的平方根是 ，算术平方根是 .(15)2 15 15 4，(2) 24，16 的平方根是2，算术平方根是 2.16 3，( )23，（ 3） 2 9 3 的平方根是 ，算术平方根是 .（ 3） 2 3 3(2) 8，2 38，（ 8） 2 的立方根是 2.（ 8） 2(3) 327，27 的立方根是3.点评 (1)求平方根的方法是逆向思维的方法，即根据平方根的概念，利用平方运算求出“平方后得到已知数的是哪个数” ，也就
5、是利用“开平方”与“平方”互为逆运算这个关系；(2)求带分数的平方根时，要先把带分数化为假分数；(3)对于含有乘方运算和根号(开方运算)的数，求其平方根时，宜先做完运算再求所得数的平方根，以防发生错误，如求 2的平方根，不可把题中的“平方”与“开平方”相抵消，求 的平方根则要防止(15) 16变成求 16 的平方根，而求 的平方根，要防止错答为“3”或“3” ；(4)求（ 3） 2的立方根要防止错答为“2” ；(5)防止认为27 的立方根不存在的错误（ 8） 2例 2 解：(1)由题意得 2a7a40，解得 a1；b128，解得 b4.(2)因为 ab5，所以 ab 的平方根为 .5例 3 解：属于有理数的有：3.1416， ， ，0. ，1.0121121112，；3 64 0.04 2 235属于无理数的有： ， ， ，1.212212221(两个“1”之间依次多一个“2”)522例 4 解：(1)原式34 (2)434142.12(2)原式52 (33)3.6例 5 解：由图可知，b0a，且 ，|a| |b|所以 |a b| a2 3（ a b） 3aba(ab)abaab3a.
